Question

Угол A выпуклого четырехугольника ABCD равен 90°, а вершина C удалена от прямых AB и AD на расстояния, равные долинам отрезков AB и AD соответственно. Докажите, что диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны.

Answer 1

Решение смотри в файле

Answer 2

Условие задачи

Рассмотрим выпуклый четырехугольник ABCD, у которого угол A равен 90°. Пусть вершина C удалена от прямых AB и AD на расстояния, равные долинам отрезков AB и AD соответственно. Необходимо доказать, что диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны.

Решение

Для доказательства перпендикулярности диагоналей четырехугольника ABCD, мы можем воспользоваться свойством прямоугольника и свойством равенства треугольников.

Предположим, что диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Мы должны показать, что угол AOC равен углу BOD и они оба равны 90°.

Для начала, рассмотрим треугольник AOB. Мы знаем, что AOB - равнобедренный прямоугольный треугольник, так как угол A равен 90°. Поэтому, углы AOB и ABO равны между собой.

Теперь рассмотрим треугольник DOC. Мы также знаем, что DOC - равнобедренный прямоугольный треугольник, так как угол A равен 90°. Поэтому, углы DOC и DCO равны между собой.

Так как углы AOB и DOC равны, а углы ABO и DCO равны, то сумма углов AOC и BOD равна 180° (углы AOC, AOB, BOD и DOC образуют прямую).

Однако, сумма углов AOC и BOD не может быть равна 180°, так как угол AOC равен углу BOD, и если сумма этих углов равна 180°, то они должны быть совмещены на одной прямой. Это противоречит исходному условию, что угол A равен 90°.

Следовательно, мы пришли к выводу, что угол AOC равен углу BOD и они оба равны 90°. Таким образом, диагонали AC и BD перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали, что диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны.