Question

Докажите, что прямая, содержащая середины двух параллель- ных хорд окружности, проходит через её центр

Answer 1

Докажите, что прямая, содержащая середины двух параллель- ных хорд окружности, проходит через её центр

Answer 2

Пусть дана окружность с центром O и две параллельные хорды AB и CD, середины которых обозначим как M и N соответственно. Нам нужно доказать, что прямая MN проходит через центр окружности O.

Для начала рассмотрим равнобедренный треугольник OAM. Так как AM - это середина хорды AB, то AM перпендикулярна к AB и проходит через ее середину M. Также, по свойству равнобедренного треугольника, OM - это медиана треугольника OAB, а значит, перпендикулярна к AB и делит ее пополам. Таким образом, AM и OM совпадают и проходят через центр окружности O.

Аналогично, рассмотрим равнобедренный треугольник ODN. Так как DN - это середина хорды CD, то DN перпендикулярна к CD и проходит через ее середину N. Также, по свойству равнобедренного треугольника, ON - это медиана треугольника OCD, а значит, перпендикулярна к CD и делит ее пополам. Таким образом, DN и ON совпадают и проходят через центр окружности O.

Так как AM и OM совпадают с DN и ON и проходят через центр O, то прямая MN также проходит через центр окружности O.