Question

Две касающиеся внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 40 и 42, касаются сторон угла с вершиной А. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку К, пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Answer 1

Решение в скане.      Нудновато доказывал то, что ВС делится пополам. Да и радиус кажется большим. И если бы ставил сразу численные решения буковок меньше надо бы писать.

Answer 2

То, что ВС делится пополам- очевидно из св-в касательных.
Ну да ладно. Сделаем обозначения известного (черным) и неизвестного и допостроения (красным).
Опять же из касательных треугольник О1ВО2 - прямоугольный с высотой  р.
из подобных прямоуг. треуг. АО1М и АО2Н -    у/40=(у+40+42)/42
   у=1640

из треуг. О1ВО2    р²=40*42

из треуг. АВР   (АР- диаметр , значит и гипотенуза)  
  р²= (у+40)*х  подставляем у=1640
р²=1680*х        приравниваем правые части

1680*х=40*42
х=1
тогда диаметр = 1680+1=1681
а радиус =1681/2=840.5

Answer 3

Обозначим центры данных окружностей как O1 и O2, а их радиусы как r1 и r2 соответственно. Пусть M будет точкой касания обеих окружностей, а N — точкой пересечения общей касательной с стороной угла в точке K.

Так как касательная проведена через точку K, она является радикальной осью для данных окружностей, и следовательно, отрезки KM, KN, и NM являются биссектрисами угла A.

Теперь, используем свойство биссектрисы в треугольнике AKM:

\[ \frac{AB}{BM} = \frac{AK}{KM} \]

Используем те же рассуждения для треугольника CKM:

\[ \frac{AC}{CN} = \frac{CK}{KM} \]

Так как AB = AC (так как это стороны угла A), мы можем утверждать, что BM = CN.

Теперь рассмотрим треугольник BKM и треугольник CNK. Они подобны по стороне-углу-стороне:

1. Сторона BK подобна стороне CN (по построению). 2. Сторона BM подобна стороне CK (по радикальной оси окружности O1 и O2). 3. Угол BKM подобен углу CNK (как вертикальные углы).

Следовательно, треугольники BKM и CNK подобны, и мы можем записать отношение сторон:

\[ \frac{BK}{CN} = \frac{BM}{CK} \]

Теперь мы знаем, что BM = CN (по доказанному выше), следовательно, BK = CK.

Теперь давайте обратим внимание на треугольник BKC и добавим отрезок BN:

\[ BK + CK = BN + CN \]

Так как BK = CK, упростим уравнение:

\[ 2 \cdot BK = BN + BM \]

Теперь мы видим, что BN + BM = 2 \cdot BK. Но BN + BM также является диаметром окружности, описанной около треугольника ABC. Таким образом, диаметр этой окружности равен удвоенному отрезку BK.

Теперь мы знаем, что BK = CK, и, следовательно, диаметр окружности, описанной около треугольника ABC, равен 2 \cdot BK.

Осталось найти значение BK. Используем теорему Пифагора в треугольнике BKM:

\[ BK^2 + KM^2 = BM^2 \]

Подставим известные значения:

\[ BK^2 + 40^2 = (40 + r_1)^2 \]

Теперь используем теорему Пифагора в треугольнике CNK:

\[ CK^2 + KM^2 = CN^2 \]

Подставим известные значения:

\[ CK^2 + 42^2 = (42 + r_2)^2 \]

Таким образом, у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (BK и KM). Решив их, мы найдем значение BK. После этого диаметр окружности, описанной около треугольника ABC, будет равен \(2 \cdot BK\), и, следовательно, радиус этой окружности будет равен \(BK\).