Question

Дан квадрат, докажите, что середины его сторон являются вершинами другого квадрата. Как относятся радиусы окружностей, вписанных в эти квадраты и описанных окончаний.

Answer 1

Не очень понимаю, что такое "описанных окончаний", но если это про окружности, то их отношение равно отношению половинок диагоналей и все равно будет  корень из двух.
решение в скане.........

Answer 2

Дано: квадрат ABCD.

Доказательство:

1. Пусть E, F, G, H - середины сторон квадрата ABCD (E на AB, F на BC, G на CD, H на DA).

2. Проведем отрезки AE, BF, CG, DH.

3. Так как AE и BF - это медианы треугольников ABC и ABD соответственно, то они делят стороны этих треугольников пополам. То есть, AE = BF и AB || EF.

4. Аналогично, CG = DH и CD || GH.

5. Поскольку AB || EF и CD || GH, то получаем, что EFHG - это параллелограмм.

6. Так как EF = GH и EH = FG (по свойству параллелограмма), то получаем, что EFHG - это ромб.

7. Таким образом, середины сторон квадрата ABCD являются вершинами другого квадрата EFHG.

Отношение радиусов окружностей, вписанных в эти квадраты и описанных окончаний:

1. Обозначим через r1 радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, и через r2 - радиус окружности, вписанной в квадрат EFHG.

2. Так как EFHG - ромб, то все его стороны равны. Пусть a - длина стороны квадрата ABCD, тогда a = 2r1.

3. Радиус окружности, вписанной в ромб EFHG, равен половине длины его диагонали. Диагональ ромба EFHG равна a√2 = 2r1√2.

4. Таким образом, r2 = (2r1√2) / 2 = r1√2.

5. Отношение радиусов окружностей равно r2 / r1 = (r1√2) / r1 = √2.

Таким образом, радиус окружности, вписанной в квадрат EFHG, равен √2 раза радиуса окружности, вписанной в квадрат ABCD.