Question

Все ребра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равны между собой. Вычислите площадь сечения плоскостью, содержащей точку С и прямую А1В1, если площадь боковой поверхности треугольной пирамиды СС1АВ равна √3+4.

Answer 1

Все ребра правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равны между собой. Вычислите площадь сечения плоскостью, содержащей точку С и прямую А1В1, если площадь боковой поверхности треугольной пирамиды СС1АВ равна √3+4.

-----------

Поскольку призма правильная и все её  ребра равны, то ее боковые грани - квадраты. 

Сделаем рисунок. 

S бок.  пирамиды СС1АВ равно сумме площадей двух равных граней - равнобедренных прямоугольных треугольников АСС1и ВСС1 и  наклонной грани- равнобедренного треугольника АС1В.

Пусть ребро призмы равно а. 

S ACC1=S BCC1= а²:2

S AC1B=AB•C1H:2

АС1- диагональ квадрата и равна a√2

АН=ВН=а/2

Из ∆ АС1Н по т.Пифагора найдем С1Н. 

С1Н²=АС1²-АН²=2а²-а²/4=7а²/4

            С1Н=(a√7):2

S AC1B=a√7/2)•a/2=(a²√7):4

Sбок  пирамиды=2•(а²:2)+a²√7/4= (4а²+а²√7):4=a²(4+√7):4

 По условию a²(√7+4):4= √3+4

а² =4•(√3+4):(√7+4)

S A1CB1=S AC1B=(a²√7):4

Подставим значение  а²  в выражение S A1CB1=(a²√7):4

S A1CB1=[4•(√3+4):(√7+4)]•(√7):4

S A1CB1=√7•(√3+4):(√7+4) (ед. площади)

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нам нужно воспользоваться свойствами правильной треугольной призмы и её боковой поверхности. Правильная треугольная призма означает, что её боковые грани являются равносторонними треугольниками.

Обозначим длину стороны треугольника ABC как \(a\). Поскольку призма правильная, длины всех сторон будут равными.

Теперь, рассмотрим треугольник A1B1C1, который является зеркальным отражением треугольника ABC относительно плоскости, проходящей через вершину C и прямую A1B1. Таким образом, длина стороны этого треугольника также будет \(a\).

Площадь боковой поверхности треугольной призмы выражается формулой:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times \text{периметр основания} \times \text{высота боковой грани}.\]

Для правильного треугольника периметр равен \(3a\). Пусть высота боковой грани будет \(h\). Тогда:

\[S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \times 3a \times h = \frac{3}{2}ah.\]

У нас дано, что \(S_{\text{бок}} = \sqrt{3}/4\). Подставим это значение и найдем \(h\):

\[\frac{3}{2}ah = \frac{\sqrt{3}}{4}.\]

Теперь найдем площадь сечения плоскостью, содержащей точку C и прямую A1B1. Эта площадь равна произведению длины отрезка А1B1 на расстояние от точки C до прямой A1B1.

Так как треугольник ABC равносторонний, расстояние от вершины C до прямой A1B1 равно \(h/\sqrt{3}\).

Таким образом, площадь сечения:

\[S_{\text{сеч}} = A1B1 \times \frac{h}{\sqrt{3}}.\]

Теперь мы можем выразить \(A1B1\) через сторону треугольника:

\[A1B1 = \sqrt{a^2 + \left(\frac{h}{\sqrt{3}}\right)^2}.\]

Мы уже знаем, что \(h = \frac{\sqrt{3}}{4a}\). Подставим это значение:

\[A1B1 = \sqrt{a^2 + \left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{4a}}{\sqrt{3}}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{3}{16a^2}}.\]

Теперь мы можем выразить \(S_{\text{сеч}}\):

\[S_{\text{сеч}} = \sqrt{a^2 + \frac{3}{16a^2}} \times \frac{\frac{\sqrt{3}}{4a}}{\sqrt{3}}.\]

Упростим это уравнение. Сначала уберем корень из знаменателя:

\[S_{\text{сеч}} = \sqrt{a^2 + \frac{3}{16a^2}} \times \frac{\frac{\sqrt{3}}{4a}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}.\]

Теперь уберем корень из числителя:

\[S_{\text{сеч}} = \frac{\sqrt{3a^2 + 3/16}}{4a}.\]

Теперь мы можем подставить значение для \(h\), которое мы нашли ранее:

\[S_{\text{сеч}} = \frac{\sqrt{3a^2 + 3/16}}{4a} = \frac{\sqrt{3\left(\frac{\sqrt{3}}{4a}\right)^2 + 3/16}}{4a} = \frac{\sqrt{3/16 + 3/16}}{4a} = \frac{\sqrt{3/8}}{4a} = \frac{\sqrt{3}}{8a}.\]

Таким образом, площадь сечения плоскостью, содержащей точку C и прямую A1B1, равна \(\frac{\sqrt{3}}{8a}\).