Question

Дан куб ABCDA1B1C1D1. Точка О — центр грани ABCD. Используя метод координат, найдите угол между прямыми ВО и A1D.

Answer 1

Разместим куб вершиной В в начало координат, ребром АВ по оси ОХ.
Находим координаты необходимых точек:
Координаты точки В:     x      y       z
                                      0      0       0,

Координаты точки О     0.5   0.5     0,

Координаты точки А1     1      0       1,

Координаты точки Д       1      1       0.

По этим координатам определяем координаты векторов:
                        х         у       z           Длина   
Вектор ВО     0.5      0.5      0          0.70711 = √2/2,
Вектор А1Д     0        1       -1           1.41421 = √2.

Находим косинус угла между векторами:
$cos \alpha = \frac{0,5*0+0,5*1+0*(-1)}{ \frac{ \sqrt{2} }{2} * \sqrt{2} } = \frac{0,5}{1} =0,5.$  

Данному косинусу соответствует угол 60 градусов.

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо найти координаты точек и использовать метод координат для нахождения угла между прямыми ВО и A1D. Для начала, давайте определим координаты точек.

Пусть A(-a, -a, a), B(a, -a, a), C(a, -a, -a), D(-a, -a, -a), A1(-a, a, a), B1(a, a, a), C1(a, a, -a), D1(-a, a, -a) - это координаты вершин куба ABCDA1B1C1D1, где a - длина стороны куба.

Точка O - центр грани ABCD. Чтобы найти координаты точки O, мы можем взять среднее значение координат вершин грани ABCD. Заметим, что у всех вершин грани ABCD координата y равна -a. Поэтому координата y точки O также будет равна -a. Координаты x и z точки O будут равны среднему значению соответствующих координат вершин. То есть, x = (a - a)/2 = 0 и z = (a - a)/2 = 0. Таким образом, координаты точки O равны (0, -a, 0).

Теперь давайте найдем уравнения прямых ВО и A1D в параметрической форме.

Уравнение прямой ВО: x = 0 + t * (a - 0) = at, y = -a + t * (-a + a) = -a, z = 0 + t * (a - 0) = at.

Уравнение прямой A1D: x = -a + s * (a + a) = -a + 2as, y = a + s * (a - a) = a, z = a + s * (-a + a) = a.

Теперь, чтобы найти угол между прямыми ВО и A1D, мы можем воспользоваться формулой для косинуса угла между двумя прямыми в трехмерном пространстве.

Косинус угла между двумя прямыми определяется следующим образом: cos(theta) = (a * b) / (|a| * |b|),

где a и b - векторы направлений прямых ВО и A1D соответственно.

Вектор направления прямой ВО равен (a, 0, a), а вектор направления прямой A1D равен (2a, 0, 0).

Подставим значения в формулу: cos(theta) = ((a, 0, a) * (2a, 0, 0)) / (|(a, 0, a)| * |(2a, 0, 0)|),

где * обозначает скалярное произведение векторов, и |a| обозначает длину вектора a.

Вычислим скалярное произведение: ((a, 0, a) * (2a, 0, 0)) = a * (2a) + 0 * 0 + a * 0 = 2a^2,

или в более простой форме: 2a^2.

Вычислим длины векторов: |(a, 0, a)| = sqrt(a^2 + 0^2 + a^2) = sqrt(2a^2) = sqrt(2) * a, |(2a, 0, 0)| = sqrt((2a)^2 + 0^2 + 0^2) = sqrt(4a^2) = 2a.

Подставим значения в формулу для косинуса: cos(theta) = (2a^2) / (sqrt(2) * a * 2a) = (2a^2) / (2 * sqrt(2) * a^2) = 1 / sqrt(2) = sqrt(2) / 2.

Итак, угол между прямыми ВО и A1D равен arccos(sqrt(2) / 2) = π/4 = 45 градусов.