Question

Помогите решить, пожалуйста! MABC - правильная пирамида, AB=4 корня из 3, MA=5. Найдите объём вписанного в пирамиду шара.

Answer 1

Кажется нигде не ошиблась ((уже почти утро)))
если что -- пишите -- исправлю)))

Answer 2

Точка M проектируется на плоскость грани ABC в центр треугольника ABC, пусть это точка K, . Это означает, что проекция ребра MA на плоскость ABC - это отрезок KA, то есть - радиус окружности, ОПИСАННОЙ вокруг правильного треугольника ABC.
Если ребро пирамиды обозначить a (по условию a = 4√3), то KA = a/√3; (из теоремы синусов); KA = 4;
Отсюда легко находится высота пирамиды MK, поскольку MK^2 = MA^2 - AK^2;
MK = 3;;
Площадь треугольника ABC равна Sabc = a^2*sin(60°)/2 = a^2*√3/4 = 16*3*√3/4 = 12√3;
Грани MAB; MAC; MBC - треугольники со сторонами 5, 5, 4√3, апофема находится так m^2 = 5^2 - (2√3)^2 = 25 - 12 = 13; m = √13; Smab = 4√3*√13/2 = 2√39; 
 поэтому площадь полной поверхности пирамиды MABC равна Sp = 12√3 + 6√39 = 6√3*(2 + √13);
Объем пирамиды V = Sabc*MK/3 = 12√3*3/3 = 12√3;
Если соединить центр O вписанного шара с вершинами пирамиды,то пирамида "разделится" на 4 пирамиды OABC; OABM; OACM; OBCM; высоты у этих пирамид одинаковые, и равны радиусу вписанного шара r, что означает, что объем всей пирамиды можно записать, как V = r*Sp/3;
Отсюда r = 3*V/Sp; r = 3*(12√3)/(12√3 + 6√39) = 6/(2 + √13) = (2/3)*(√13 - 2);
Объем шара равен (4π/3)r^3; если честно, мне с корнями возиться лень...
(4π/3)r^3 = (4π/3)*(2/3)^3*(√13 - 2)^3 = (32π/27)*(13√13 - 3*13*2 + 3*√13*4 - 8) = (32π/27)*(25√13 - 86); ну типа того. 
Вы арифметику проверьте, я мог ошибиться где то в числах.

Answer 3

Для решения задачи нам понадобятся некоторые свойства вписанного шара в пирамиду.

1. Лучи, исходящие из вершины пирамиды до точек касания шара с гранями пирамиды, являются перпендикулярами к этим граням.

2. Лучи, исходящие из центра шара до точек касания шара с гранями пирамиды, делятся пополам углы между этими гранями.

3. Радиус шара, вписанного в пирамиду, равен трети отрезка, соединяющего вершину пирамиды с центром масс основания пирамиды.

Теперь приступим к решению задачи.

Из условия задачи у нас дано, что AB = 4√3 и MA = 5.

Для начала найдем высоту пирамиды. Обозначим ее через h.

В прямоугольном треугольнике MAB применим теорему Пифагора: MA^2 = MB^2 + AB^2 5^2 = MB^2 + (4√3)^2 25 = MB^2 + 48 MB^2 = 25 - 48 MB^2 = -23

Так как MB^2 получился отрицательным, то такой пирамиды не существует. Вероятно, была допущена ошибка в условии задачи или переданы неверные данные.

Если у вас есть дополнительная информация или исправленное условие задачи, пожалуйста, предоставьте ее, и я смогу помочь вам решить задачу.