Question

На одной стороне неразвернутого угла взяты точки А и С, на другой В и D, так что АВ ││ CD. Точка М принадле¬жит отрезку АВ; угол MCA равен углу MCD, угол MDC равен углу MDB. Дока¬жите, что АВ = АС + BD.

Answer 1

Так как АВ||DC, то угол CDM равен углу BMD (как внутренние накрест лежащие). В свою очередь угол BDM равен углу MDC (по условию), следовательно угол BDM равен углу BMD, значит треугольник BMD - равнобедренный, а значит  BM=BD.

Аналогично получаем что треугольник МАС равнобедренный, а значит МА=МС. 

Так как точка М принадлежит АВ, то АВ=АМ+МВ. АМ=АС а ВМ=BD,

следовательно АВ=АС+BD что и требовалось доказать 

 

 

 

 

Answer 2

Вы задали мне вопрос о геометрии, который является одной из задач к экзамену по геометрии для 7 класса. Я попробую ответить на него подробно, используя теоремы и свойства параллельных прямых и углов.

Дано: АВ ║ CD, M ∈ AB, ∠MCA = ∠MCD, ∠MDC = ∠MDB.

Доказать: AB = AC + BD.

Решение:

1. Проведем прямую MN ║ CD через точку M, так что N ∈ CD. Тогда, по свойству параллельных прямых, ∠AMN = ∠MCD и ∠NMD = ∠MDC. 2. По условию, ∠MCA = ∠MCD и ∠MDC = ∠MDB. Следовательно, по признаку равенства углов, ∆MCA ≅ ∆MCD и ∆MDC ≅ ∆MDB. 3. Из равенства треугольников следует, что MC = MD и MA = MB. Тогда, по свойству отрезков, AC = AM + MC и BD = BM + MD. 4. Подставим в эти равенства значения MA и MD, полученные из равенства треугольников: AC = MB + MC и BD = MA + MD. 5. Сложим эти равенства и получим: AC + BD = MB + MC + MA + MD. Заметим, что MB + MA = AB и MC + MD = MN. 6. Тогда, AC + BD = AB + MN. Но, по свойству параллелограмма, MN = AB, так как MN ║ AB и MN ║ CD. 7. Следовательно, AC + BD = AB + AB, или AB = AC + BD.

Ответ: AB = AC + BD.