Question

В прямоугольном треугольнике из середины гипотенузы опущены перпендикуляры на катеты. Используя теорему Фалеса, докажите, что эти перпендикуляры являются средними линиями треугольника.

Answer 1

ТреугольникАВС, уголС=90, точка К-середина АВ, АК=КВ, КН - перпендикуляр на АС, КМ-перпендикуляр на ВС, КН параллельна ВС, КМ параллельна АС
теорема Фалеса - если параллельные прямые которые пересекают стороны угла отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они осекают равные отрезки и на другой стороне. АН=НС, КН - средняя линия треугольника АВС (соединяет середины сторон), ВМ=МС, КМ - средняя линия

Answer 2

Для начала, давайте обозначим наш прямоугольный треугольник ABC, где AB - гипотенуза, а AC и BC - катеты. Пусть точка D - середина гипотенузы AB, а точки E и F - основания перпендикуляров, опущенных из точки D на катеты AC и BC соответственно.

Так как D - середина гипотенузы AB, то AD = DB. Также, по теореме Фалеса, мы знаем, что отношение длин отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками пересечения медиан, равно 1:1. То есть, AE:EC = 1:1 и BF:FC = 1:1.

Докажем, что перпендикуляры DE и DF являются средними линиями треугольника. Для этого нам нужно доказать, что DE = EC и DF = FC.

Рассмотрим треугольник ADE. В этом треугольнике у нас есть две равные стороны: AD = DB и AE = EC. Также, по теореме о прямом угле, угол ADE = углу AED. Поэтому треугольник ADE является равнобедренным треугольником, и мы можем сказать, что DE = EC.

Аналогично, рассмотрим треугольник BDF. В этом треугольнике у нас также есть две равные стороны: BD = DA и BF = FC. Также, угол BDF = углу BFD по теореме о прямом угле. Поэтому треугольник BDF является равнобедренным треугольником, и мы можем сказать, что DF = FC.

Таким образом, мы доказали, что перпендикуляры DE и DF являются средними линиями треугольника ABC.