Question

В окружности проведены три хорды, каждая из которых пересекается с двумя другими. Каждая из этих хорд делится точками пересечения на три отрезка равной длины α. Найдите радиус окружности

Answer 1

Если все эти хорды пересекаются в одной точке. Следует что произведение одной части отрезка хорды на другую равны другой части хорды. Отсюда следует что хорды равны между собой , следовательно они симметрично расположены от центра . При пересечений всех трех хорд , получим правильный треугольник . Со  сторонами равными $\frac{a}{3}$. Проведем сам радиус , центр данного треугольника будет расположен относительно всех треух вершин равноудален , а  радиус вписанной окружности в данный правильный треугольник будет равен $r=\frac{\sqrt{3}a}{18}$
Откуда получим сам радиус равным 
$R=\sqrt{(\frac{a}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}a}{18})^2}=\frac{\sqrt{7}a}{\sqrt{27}}$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться свойством пересекающихся хорд в окружности. Поскольку каждая хорда пересекается с двумя другими хордами, получаем, что в центре окружности образуется треугольник, в вершинах которого находятся точки пересечения хорд.

1. Нахождение длины хорды

Для начала, найдем длину каждой хорды. Поскольку каждая хорда делится точками пересечения на три отрезка равной длины α, то сумма этих отрезков составит длину хорды. Обозначим длину хорды через L.

L = 3α

2. Нахождение радиуса окружности

Теперь, когда у нас есть длина хорды, мы можем использовать свойство пересекающихся хорд, которое гласит, что произведение длин отрезков хорды, образованных её пересечением, равно произведению длин другой хорды.

Если обозначить радиус окружности через R, то получаем уравнение:

L * L = (2R - L) * (2R - L)

Раскроем скобки:

L^2 = (2R - L)^2 L^2 = 4R^2 - 4RL + L^2

Упростим уравнение:

0 = 4R^2 - 4RL

3. Нахождение радиуса

Теперь решим уравнение относительно радиуса R:

0 = 4R^2 - 4RL

4R^2 = 4RL

R^2 = RL

R = L/4

Таким образом, радиус окружности равен четверти длины хорды:

Ответ: радиус окружности R = L/4