Question

Дан треугольник ABC с углом C=120 град. Точка D - основание перпендикуляра, опущенного из точки C на сторону AB; точки E и F основания перпендикуляров, опущенных из точки D на стороны AC и BC соответственно. Найдите чему равен периметр треугольника ABC, если известно, что треугольник EFC равнобедренный и его площадь равна √3. с решением

Answer 1

Оскільки трик-к ЕFC - рівноб , а за вл рівнобічного трикутника відомо , що кути при основі рівні. За умовою задачі дано , що точка С = 120 ° , то :
E=F= (180 - 120 ) : 2 = 60 :2 = 30 °  - далі не знаю 

Answer 2

Для начала, построим треугольник ABC с углом C равным 120 градусам и проведем перпендикуляр CD из точки C на сторону AB. Затем проведем перпендикуляры DE и DF из точки D на стороны AC и BC соответственно.

Поскольку треугольник EFC равнобедренный, то EF = FC. Пусть EF = FC = x.

Также известно, что площадь треугольника EFC равна √3. Площадь треугольника равна половине произведения длин его оснований на синус угла между ними. В данном случае, площадь треугольника EFC равна √3 = (1/2) * EF * FC * sin(∠EFC).

Так как EF = FC = x, то √3 = (1/2) * x * x * sin(∠EFC).

Также заметим, что треугольник ADC и треугольник BDC являются прямоугольными, поскольку CD - высота, опущенная из вершины прямого угла, и AD = BD. Значит, треугольник ADC и треугольник BDC равнобедренные.

Таким образом, AC = DC = x и BC = DC = x.

Известно, что треугольник EFC равнобедренный, поэтому у него угол ∠EFC равен (180 - ∠CEF - ∠CFE)/2 = (180 - ∠ACD - ∠BDC)/2 = (180 - 90 - 90)/2 = 0 градусов.

Таким образом, sin(∠EFC) = sin(0) = 0.

Подставим эти значения в уравнение √3 = (1/2) * x * x * sin(∠EFC):

√3 = (1/2) * x * x * 0.

Так как sin(∠EFC) = 0, то уравнение становится 0 = 0, что выполняется для любого значения x.

Таким образом, возможно бесконечное количество треугольников ABC, удовлетворяющих условию.

Поскольку периметр треугольника ABC зависит от длин сторон AC и BC, которые могут быть любыми, то периметр треугольника ABC также может быть любым.