Question

В остроугольном треугольнике abc проведены высоты ae и ck Площади треугольников ВЕК и АВС 1/2 и 9/2 соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВЕК , если АС равно 3 корень из двух

Answer 1

Task/24845086
---.-----.---.---.---
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AE и CK. Площади треугольников ВЕК и ABC 1/2 и 9/2 соответственно. Найдите радиус  окружности, описанной около треугольника ВЕК , если АС равно 3√2
====================
EK / sin∠B =2R  ⇒ R = EK / 2sin∠B

Известно  ΔBEK ~ΔBAC  с коэффициентом  подобия  k =cos∠B .
S(ΔBEK)/S(ΔBAC) = k²
(1/2) : (9/2) = cos²∠B;
cos∠B = 1/3     (∠ B _острый)  ;
EK/ AC = cos∠B ⇒ EK =  AC*cos∠B =(3√2)*1/3 =√2
sin∠ B =√ (1-cos²∠B) =√ (1-1/9) =(2√2) /3 .
Следовательно : 
R = EK /2sin∠B  =√2 / 2*(2√2) /3 =√2 / (4√2) /3 =3/4.

ответ : 3/4 .

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать свойства остроугольных треугольников и окружностей, описанных вокруг треугольников.

Свойство остроугольных треугольников:

В остроугольном треугольнике каждая высота разделяет основание на две сегменты, пропорциональные смежным сторонам. То есть, если в остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AE и CK, то мы можем использовать следующее соотношение:

AE/EC = AB/BC

Свойство описанных окружностей:

Описанная окружность треугольника проходит через вершины треугольника и ее центр находится на перпендикулярной биссектрисе одного из углов треугольника. Для остроугольного треугольника ABC, описанная окружность имеет центр в точке O.

Решение задачи:

Мы знаем, что площадь треугольника VEK равна 1/2, а площадь треугольника ABC равна 9/2. Также нам дано, что AC равно 3√2.

Для начала, найдем высоту AE. Мы можем использовать формулу для площади треугольника:

Площадь = 1/2 * основание * высота

Для треугольника VEK:

1/2 = 1/2 * VK * AE

Так как площадь VEK равна 1/2, мы можем записать:

1/2 = 1/2 * VK * AE

AE = 1/VK

Аналогично, для треугольника ABC:

9/2 = 1/2 * AC * CK

CK = 9/AC

Теперь мы можем использовать свойство остроугольных треугольников:

AE/EC = AB/BC

1/VK / EC = AB / (9/AC)

EC = (9/AC) * VK

Теперь, найдем радиус окружности, описанной вокруг треугольника VEK. Мы знаем, что центр окружности находится на перпендикулярной биссектрисе угла VKC.

Радиус окружности:

Для остроугольного треугольника VEK, мы можем использовать формулу для радиуса описанной окружности:

Радиус = (AB * BC * CA) / (4 * Площадь)

Зная, что AB = VK, BC = EC и CA = AC, мы можем записать:

Радиус = (VK * EC * AC) / (4 * 1/2)

Радиус = (VK * (9/AC) * AC) / 2

Радиус = (9/2) * VK

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника VEK, равен (9/2) * VK.