Question

Окружность радиуса 2, вписанная в треугольник ABC, касается средней линии треугольника, параллельной стороне BC. Периметр треугольника ABC равен 24.Найти стороны треугольника

Answer 1

Свойство: Средняя линия треугольника соединяет середины двух сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине. EF - средняя линия.
Значит АEFВ - трапеция, в которой CВ=2ЕF.
Свойство:
Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований трапеции равна сумме ее боковых сторон.
Итак, ВС+EF=CE+FB. Но EF=(1/2)*ВС, а СЕ+FB=(1/2)*(АВ+АС).
Значит (3/2)*ВС=(1/2)*(АВ+АС) или 3ВС=АВ+АС.
АВ+АС+ВС=24 (дано). Тогда 4ВС=24, а ВС=6.
Sabc=(1/2)*ВC*h=(1/2)*6*8=24.(так как h=2*d=8, поскольку EF - средняя линия и делит h пополам. Половина же высоты - это в нашем случае  диаметр вписанной окружности).
По Герону: Sabc=√[p(p-a)(p-b)(p-c). Или S²=12(12-a)(12-b)(12-6).
То есть 24²=12*6*(12-a)(12-b) или 8=(12-a)(12-b).
Но a+b+c=24, а с=6, значит a+b=18. тогда b=18-a.
Подставляем это значение в выражение 2=(12-a)(12-b) и получаем:
8=(12-a)(а-6). Имеем квадратное уравнение:
а²-18а+80=0, откуда а1=10, а2=8 и b1=8, b2=10.

Answer 2

Пусть стороны треугольника ABC равны a, b и c. Также пусть AM – средняя линия треугольника ABC, параллельная стороне BC, где M – точка касания окружности средней линии.

Так как окружность касается средней линии AM, то AM является радиусом окружности. По условию радиус окружности равен 2.

Также известно, что периметр треугольника ABC равен 24. Это означает, что a + b + c = 24.

По теореме о касательных к окружности, отрезок AM является средней пропорциональной между отрезками BM и CM. То есть: AM^2 = BM * CM

Так как AM равно радиусу окружности и равно 2, получаем: 2^2 = BM * CM 4 = BM * CM

Также известно, что BM + CM = BC = b. Так как средняя линия AM параллельна стороне BC, то BM = CM = b/2.

Подставляя значения в уравнение, получаем: 4 = (b/2) * (b/2) 4 = (b^2)/4 16 = b^2 b = 4

Таким образом, сторона треугольника ABC равна 4.

Подставив это значение в уравнение a + b + c = 24, получаем: a + 4 + c = 24 a + c = 20

Так как стороны треугольника могут иметь разные значения, нельзя однозначно определить значения сторон a и c. Однако, известно, что их сумма равна 20.