Question

Прямая, проходящая через вершину A треугольника ABC перпендикулярно его медиане BD, делит эту медиану пополам. Найдите отношение длин сторон AB и AC треугольника ABC.

Answer 1

Прямая, проходящая через через А и перпендикулярная ВД пересекает ВД в точке К. В ΔАВД  АК -- медиана и высота. ΔАВД -- равнобедренный, АД=АВ.
ВД -- медиана ΔАВС. АД=СД, АС=2АД
АВ:АС=АД:2АД=1/2

Answer 2

Пусть точка D - середина стороны AC треугольника ABC. Также пусть прямая, проходящая через вершину A и перпендикулярная медиане BD, пересекает сторону BC в точке E.

Так как медиана BD делится точкой E пополам, то DE=EB.

Поскольку AD - медиана треугольника ABC, она делит сторону BC пополам, то есть DB=DC.

Так как DE=EB и DB=DC, то треугольник BDE равнобедренный, значит, у него угол BDE равен углу BED.

Так как прямая, проходящая через вершину A и перпендикулярная медиане BD, пересекает сторону BC в точке E, то угол BDE равен углу A.

Таким образом, у треугольника BDE два равных угла, значит, он равнобедренный.

Так как треугольник ABC и треугольник BDE имеют два равных угла, то они подобны.

Отношение длин сторон AB и AC треугольника ABC равно отношению длин сторон BD и DE треугольника BDE, так как они соответствующие стороны подобных треугольников.

Найдем отношение длин сторон BD и DE треугольника BDE.

По условию, DE=EB, а DB=DC. Таким образом, треугольник BDE является равнобедренным, и отношение длин сторон BD и DE равно 1:1.

Следовательно, отношение длин сторон AB и AC треугольника ABC также равно 1:1.