Question

Докажите, что полная поверхность S конуса с образующей l и радиусом основание r может быть вычислена по формуле S=πr(l+r).

Answer 1

Найдем боковую поверхность.
Развернем  боковую поверхность  конуса. Получим  сектор с  радиусом равным  образующей ,и  длинне  дуги сектора   равной  длинне  окружности основания  конуса.
Откуда можно найти угол  сектора:
Lсек=l*Ф=2*π*r (Ф-угол  сектора  в  радианах
Ф=2*π*r/l
Sсек=π*l^2 *Ф/2π= l^2 *2*π*r/2*l=π*r*l
Площадь сектора равна  площади боковой  поверхность  конуса:
Sбок=Scек=π*r*l
Sпол=Sбок+Sосн=π*r*l+π*r^2=πr*(l+r)
Чтд

Answer 2

Полная поверхность конуса и формула для ее вычисления

Полная поверхность конуса состоит из двух частей: основания и боковой поверхности. Формула для вычисления полной поверхности конуса с образующей l и радиусом основания r выглядит следующим образом:

S = πr(l + r)

Давайте докажем эту формулу.

Доказательство

Для доказательства формулы для полной поверхности конуса воспользуемся геометрическими свойствами конуса.

1. Рассмотрим боковую поверхность конуса. Она представляет собой развернутый сектор окружности с радиусом l и длиной дуги, равной образующей конуса. Длина дуги можно вычислить с помощью формулы длины окружности:

l = 2πr

Таким образом, длина дуги боковой поверхности конуса равна 2πr.

2. Основание конуса представляет собой круг с радиусом r. Площадь круга можно вычислить с помощью формулы:

A = πr^2

Таким образом, площадь основания конуса равна πr^2.

3. Полная поверхность конуса состоит из боковой поверхности и основания. Поэтому площадь полной поверхности конуса равна сумме площади боковой поверхности и площади основания:

S = A + l

Подставим значения площади боковой поверхности и площади основания:

S = 2πr + πr^2

Факторизуем общий множитель πr:

S = πr(2 + r)

Таким образом, мы получили формулу для полной поверхности конуса:

S = πr(l + r)

Это доказывает, что полная поверхность конуса с образующей l и радиусом основания r может быть вычислена по формуле S = πr(l + r).

Заключение

Мы доказали формулу для вычисления полной поверхности конуса с образующей l и радиусом основания r. Формула S = πr(l + r) позволяет нам легко вычислить площадь поверхности конуса, используя известные значения l и r.