Question

Периметр прямоугольника равен 32, а площадь 48. Найдите синус угла между диаганалями

Answer 1

$\left \{ {{2(a+b)=32 (1)} \atop {ab=48(2)}} \right. \\ (1):a+b=16\\a=16-b\\(2):(16-b)b=48\\16b-b^2=48\\b^2-16b+48=0\\(b-12)(b-4)=48\\b_1=12;b_2=4\\a_1=16-12=4; a_2=16-4=12$
Стороны прямоугольника 12 и 4. Найдем диагональ прямоугольника по теореме Пифагора:
$d= \sqrt{4^2+12^2}= \sqrt{16+144} = \sqrt{160} =4 \sqrt{10}$
Площадь прямоугольника можно найти как произведение сторон или как половину произведения диагоналей на синус угла между ними.
$S=ab=12*4=48\\S= \frac{1}{2} d_1*d_2*sin \alpha = \frac{1}{2} *4 \sqrt{10} *4 \sqrt{10} *sin \alpha =80*sin \alpha\\80*sin \alpha=48\\sin \alpha = \frac{48}{80} =0,6$
Ответ:0,6.

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо найти длины диагоналей прямоугольника, а затем использовать их для расчета синуса угла между ними.

По условию известно, что периметр прямоугольника равен 32, а площадь равна 48. Пусть a и b - стороны прямоугольника. Тогда периметр равен 2a + 2b = 32, а площадь равна ab = 48.

Мы можем решить систему уравнений: 2a + 2b = 32 ab = 48

Решив эту систему, мы найдем длины сторон прямоугольника: a = 8 и b = 6.

Далее найдем длину диагонали прямоугольника по формуле: d = √(a^2 + b^2)

d = √(8^2 + 6^2) = √(64 + 36) = √100 = 10

Теперь мы можем найти синус угла между диагоналями. Пусть α - угол между диагоналями. Тогда синус угла α можно найти по формуле: sin(α) = (1/2) * d1/d2

Где d1 и d2 - длины диагоналей.

Подставим значения: sin(α) = (1/2) * 10/10 = 1/2

Итак, синус угла между диагоналями прямоугольника равен 1/2.