Question

Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны AB и CD в точках P и Tсоответственно. Докажите, что BP=DT

Answer 1

Они равны, так как равны треугольники BPO и DTO по второму признаку равенства треугольников: BO=DO так как диагонали пар-ма в точке пересечения делятся пополам; угол BOP равен углу DOT так как они вертикальные; угол РBO равен углу TDO так как они накрест лежащие при паралл.сторонах пар-ма и секущей диагонали BD.

Answer 2

Для доказательства равенства \( BP = DT \) воспользуемся свойствами параллелограмма и свойствами треугольников.

Свойства параллелограмма

1. В параллелограмме противоположные стороны равны. 2. Диагонали параллелограмма делят друг друга пополам.

Доказательство

Мы знаем, что диагонали параллелограмма \( ABCD \) пересекаются в точке \( O \). Проведем от точки \( O \) перпендикуляр к стороне \( AB \), который пересечет \( AB \) в точке \( M \) и \( CD \) в точке \( N \).

Теперь у нас есть два треугольника: \( BMP \) и \( DNT \). Мы видим, что эти треугольники имеют общие стороны: \( BM = DN \) (в параллелограмме противоположные стороны равны), \( MP = NT \) (поскольку \( MP \) и \( NT \) - это расстояния от точки \( O \) до сторон \( AB \) и \( CD \) соответственно, и точка \( O \) - середина диагонали \( BD \)), и угол \( MBP = NDT \) (поскольку \( MP \) и \( NT \) - это высоты треугольников, опущенные из точки \( O \)).

Следовательно, по свойству равных треугольников \( BMP \) и \( DNT \), у нас есть \( BP = DT \).

Таким образом, мы доказали, что \( BP = DT \) при условии пересечения диагоналей параллелограмма и проведения прямой через точку пересечения, пересекающей стороны \( AB \) и \( CD \) в точках \( P \) и \( T \) соответственно.