Question

Периметр прямоугольного треугольника 24 а длина медианы, пооведенной к гипотенузе, 5. Найдите площадь треугольника

Answer 1

В прямоугольном треугольнике медиана,проведенная к гипотенузе,есть радиусом описанной окружности,т.е. гипотенуза с=5+5=10.
тогда а+в=24-10=14(а и в-катеты).
с^2=a^2+b^2
a=14-b
100=(14-b)^2+b^2
100=196-28b+b^2+b^2
2b^2-28b+96=0
b^2-14b+48=0
по т.Виетта в=6 или в=8,
тогда а=8 или а=6,т.е. катеты 6 и 8.
S=a*b/2
S=6*8/2=24

Answer 2

Для начала, давайте вспомним формулы, связанные с прямоугольными треугольниками.

Формулы для прямоугольного треугольника:

1. Периметр прямоугольного треугольника: Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза c. Тогда периметр (P) равен сумме длин всех сторон: P = a + b + c.

2. Формула медианы, проведенной к гипотенузе: Медиана, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два других треугольника, каждый из которых является подобным исходному прямоугольному треугольнику. При этом каждый из этих треугольников — половина исходного треугольника.

3. Формула площади прямоугольного треугольника: Площадь (S) прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле: S = (a * b) / 2, где a и b - длины катетов.

Решение:

Итак, у нас есть периметр прямоугольного треугольника, равный 24, и длина медианы, проведенной к гипотенузе, равная 5. Мы можем использовать эти данные для нахождения площади треугольника.

Давайте рассчитаем длину катетов:

Мы знаем, что периметр треугольника равен сумме всех его сторон: a + b + c = 24,

где a и b - катеты, а c - гипотенуза.

Также у нас есть информация о медиане, проведенной к гипотенузе, которая делит гипотенузу на две равные части. Таким образом, у нас есть два подобных прямоугольных треугольника.

Давайте обозначим длину медианы, проведенной к гипотенузе, как m. Тогда мы можем использовать теорему Пифагора для поиска соотношений между длинами сторон треугольника.

По теореме Пифагора: m^2 + (c/2)^2 = c^2, m^2 + c^2/4 = c^2, m^2 = 3c^2/4, m = c * √3/2.

Теперь у нас есть выражение для длины медианы через гипотенузу.

Так как медиана равна 5, мы можем записать: 5 = c * √3/2, c = 5 * 2/√3, c = 10/√3.

Теперь мы можем использовать найденное значение гипотенузы для нахождения длин катетов, и затем вычислить площадь треугольника.