Question

ПОЖАЛУЙСТА, спасите несчастного! Дана прямая а и отрезок АВ, пересекающий эту прямую. Постройте на прямой а точку С так, чтобы эта прямая содержала биссектрису угла треугольника АВС.

Answer 1

Нe задача конечно оригинальная :) Она даже  первое время вызвала у меня затруднения :)
1) Проведем серединный   перпендикуляр к стороне AB. 
Получим точку T в пересечении  с прямой a.
2) Треугольник ATB-равнобедренный тк NT  высота и медиана.
3) А  теперь внимание: Опишем около треугольника ATB окружность :)
(Это  точка пересечения серединных  перпендикуляров к сторонам)
Обозначим F-отличную от T точку пересечения окружности  с прямой a.
Так  в чем же собственно говоря все прелесть: Тк  хорды  AT=TB,то и дуги  AT и TB  равны. То есть вписанные  углы AFT и BFT  опираются на равные дуги. То  по сути эти  углы равны :)
То  FT  -биссектриса  AFB.
Построение завершено.  (Прошу прощения  что заменил С на F  cуть от этого  не изменилась)
Замечание: 
Хочу сказать   что данная задача  не разрешима когда отрезок AB  перпендикулярен прямой A  и  не делится этой прямой пополам.
Тк если бы такая точка существовала,то вышло бы что  высота и биссектриса,то  треугольник  равнобедренный,то она и медиана.
НО данный отрезок не делится данной точкой пополам. Это в принципе и логично. Тк в этом и только в этом случае серединный перпендикуляр будет  параллелен  прямой a.
Если же  AB  перпендикулярна a и делится этой прямой пополам. То все точки на  прямой будут  удовлетворять условию задачи. Это особенный случай. Я не   мог его не упомянуть. Задание  интересное во всех отношениях :) 

Answer 2

Для построения точки C, через которую проходит биссектриса угла треугольника АВС, следует выполнить следующие шаги:

1. На прямой а отметьте точку А, через которую проходит отрезок АВ. 2. Проведите отрезок АВ. 3. Найдите середину отрезка АВ и обозначьте её как точку М. 4. Проведите прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную прямой а. Обозначьте точку пересечения этой прямой с прямой а как точку С. 5. Точка С будет лежать на биссектрисе угла треугольника АВС.

Таким образом, построена точка С, через которую проходит биссектриса угла треугольника АВС.