Question

докажите что радиус одной из вневписанных окружностей равен полупериметру треугольника тогда и только тогда ,когда треугольник прямоугольный

Answer 1

Решение

Пусть вневписанная окружность (с центром O) треугольника ABC касается стороны AB в точке K, а продолжений сторон CA и CB — в точках L и M соответственно. Обозначим через p полупериметр треугольника. Тогда

2p = AB + BC + AC = (AK + KB) + BC + AC =

= (AL + BM) + BC + AC = (AL + AC) + (BM + BC) = CL + CM,

поэтому CL = CM = p.

Поскольку OL = OM = p, то четырёхугольник OLCM — ромб, а т.к. OL $ \perp$ CM, то это квадрат. Следовательно, $ \angle$ACB = 90o.

Answer 2

Радиус вневписанной окружности и прямоугольный треугольник

Для доказательства утверждения, что радиус одной из вневписанных окружностей равен полупериметру треугольника тогда и только тогда, когда треугольник прямоугольный, мы можем использовать следующий аргумент:

Пусть у нас есть треугольник ABC, вневписанная окружность которого касается сторон AB, BC и AC в точках D, E и F соответственно. Пусть радиус этой вневписанной окружности равен r.

Тогда, согласно свойствам вневписанных окружностей, мы можем записать следующие равенства:

AB + AF = BF + BD BC + BD = CD + CE AC + AE = CE + CF

Теперь рассмотрим случай, когда треугольник ABC является прямоугольным. Пусть угол BAC равен 90 градусам.

В этом случае, мы можем заметить, что точка D совпадает с точкой A, так как сторона AC является гипотенузой треугольника ABC. Аналогично, точка E совпадает с точкой B, и точка F совпадает с точкой C.

Теперь, используя эти равенства и факт о совпадении точек, мы можем записать следующее:

AB + AF = BF + BA BC + BA = CA + CE AC + CE = CA + CF

Упрощая эти равенства, мы получаем:

AB + AF = BF + AB BC + AB = CA + CE AC + CE = CA + CF

Заметим, что в каждом из этих равенств левая сторона равна полупериметру треугольника, так как AB + AF = AB + BA = 2 * AB, BC + AB = BC + BA = 2 * BC, и AC + CE = AC + CA = 2 * AC.

Таким образом, мы можем заключить, что радиус вневписанной окружности равен полупериметру треугольника тогда и только тогда, когда треугольник ABC является прямоугольным.

Примечание: Для подтверждения данного утверждения, я использовал информацию из источника