Question

А) Дан равнобедренный треугольник ΔMKN, в котором угол ∠N = 70° и ML – биссектриса угла ∠M. Найдите значение углов ∠KLM и ∠NLM. Б) В треугольнике ABC провели биссектрису BF. Найдите угол C, если ∠A = 49°, ∠AFB = 68°. В) ∠BCD – один из внешних углов треугольника равен 136°, а B – один из углов треугольника, не смежный с ним, равен 61°. Найдите второй угол A треугольника, не смежный с данным внешним. Запишите только ответ. Ответ: ∠A = ____________°. Г) Дан равнобедренный треугольник ΔABC. Отрезок ОК проведен таким образом, что KO = OB и ∠KOB – прямой. Найдите значения углов ∠BAC, ∠BCA, ∠ABC.

Answer 1

Ответ:

Обозначим половины угла KML переменной х.

Тогда ∠KML = 2x.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, значит

∠SKM = ∠KML = 2x.

ΔSKM: ∠SKM = 2x, ∠SMK = x, ∠MSK = 105°, сумма углов треугольника равна 180°, получаем уравнение

x + 2x + 105° = 180°

3x = 180° - 105°

3x = 75°

x = 25°

∠SMK = 25°

∠LMK = ∠LKM = 25° · 2 = 50°

∠KLM = 180° - (∠LMK + ∠LKM) = 180° - 2 · 50° = 80°

Answer 2

А) Для решения данной задачи, воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и биссектрисы угла.

В равнобедренном треугольнике ΔMKN углы при основании MK равны, так как треугольник равнобедренный. Поэтому угол ∠K = ∠M.

Из условия задачи известно, что ∠N = 70°, и ML - биссектриса угла ∠M. Значит, угол ∠MNL = ∠MLN.

Так как сумма углов треугольника равна 180°, можем записать уравнение: ∠M + ∠K + ∠N = 180°

Подставим известные значения: ∠M + ∠M + 70° = 180°

Сократим: 2∠M + 70° = 180°

Теперь решим уравнение: 2∠M = 180° - 70° 2∠M = 110°

Разделим на 2: ∠M = 55°

Так как ∠K = ∠M, значит ∠K = 55°.

Теперь найдем значение угла ∠NLM: ∠NLM = ∠N - ∠MNL ∠NLM = 70° - ∠MLN

Заметим, что треугольник ΔMLN - равнобедренный, так как ML является биссектрисой угла ∠M. Значит, ∠MLN = ∠MNL.

Тогда: ∠NLM = 70° - ∠MLN ∠NLM = 70° - ∠MNL

Мы знаем, что ∠MNL = ∠MLN, поэтому: ∠NLM = 70° - ∠MLN ∠NLM = 70° - ∠MNL

Подставим значение ∠MNL: ∠NLM = 70° - ∠MNL ∠NLM = 70° - 55° ∠NLM = 15°

Итак, получили значения углов: ∠KLM = ∠M = 55° ∠NLM = 15°

Б) В треугольнике ABC проведена биссектриса BF, и известны значения углов ∠A и ∠AFB.

Из свойств биссектрисы известно, что углы при основании BC разделяются биссектрисой на два равных угла. То есть, ∠ACB = ∠BCA.

Из условия задачи известно, что ∠A = 49° и ∠AFB = 68°.

Тогда, сумма углов треугольника равна 180°, и можем записать уравнение: ∠A + ∠B + ∠C = 180°

Подставим известные значения: 49° + ∠B + ∠C = 180°

Также известно, что ∠AFB = ∠B + ∠C. Подставим это в уравнение: 49° + ∠AFB = 180°

Решим уравнение: ∠AFB = 180° - 49° ∠AFB = 131°

Таким образом, угол C треугольника ABC равен 131°.

В) В треугольнике BCD один из внешних углов равен 136°, а угол B - один из углов треугольника, не смежный с ним, равен 61°.

Заметим, что сумма внешнего и внутреннего углов треугольника равна 180°. То есть, внешний угол + внутренний угол = 180°.

Таким образом, имеем уравнение: внутренний угол + 136° = 180°

Решим уравнение: внутренний угол = 180° - 136° внутренний угол = 44°

Итак, второй угол A треугольника, не смежный с данным внешним, равен 44°.

Г) В равнобедренном треугольнике ΔABC отрезок ОК проведен таким образом, что KO = OB, и ∠KOB - прямой.

Из свойств равнобедренного треугольника известно, что основания биссектрисы и медианы равны.

Таким образом, имеем уравнение: KO = OB

По условию задачи, ∠KOB - прямой, поэтому угол ∠BOK = 90°.

Так как KO = OB, то угол ∠OKB = ∠BKO.

Сумма углов треугольника равна 180°. Имеем уравнение: ∠BOK + ∠OKB + ∠OBK = 180°

Подставляем известные значения: 90° + ∠BKO + ∠BKO = 180°

Решаем уравнение: 2∠BKO = 180° - 90° 2∠BKO = 90°

Разделяем на 2: ∠BKO = 45°

Так как ∠BKO = ∠OKB, то ∠OKB = 45°.

Теперь найдем значения углов ∠BAC, ∠BCA и ∠ABC.

Угол ∠BAC - угол основания равнобедренного треугольника ΔABC, и по свойствам равнобедренного треугольника, ∠BAC = ∠BCA.

Также мы знаем, что сумма углов треугольника равна 180°, поэтому имеем уравнение: ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°

Подставляем известное значение: ∠BAC + ∠BAC + 45° = 180°

Решаем уравнение: 2∠BAC + 45° = 180°

Вычитаем 45°: 2∠BAC = 180° - 45° 2∠BAC = 135°

Делим на 2: ∠BAC = 67.5°

Таким образом, получили значения углов: ∠BAC = 67.5° ∠BCA = ∠BAC = 67.5° ∠ABC = ∠OKB = 45°