Question

Докажите, что все точки, лежащие на прямой, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной этому отрезку, равноудалены от концов отрезка АВ. Сформулируйте и докажите отбратное утверждение.

Answer 1

Ответ:

1. Доказано, что все точки, лежащие на прямой, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной этому отрезку, равноудалены от концов отрезка АВ.

2. Доказано, что каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.

Объяснение:

Докажите, что все точки, лежащие на прямой, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной этому отрезку, равноудалены от концов отрезка АВ. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

• Прямая перпендикулярная отрезку и проходящая через его середину называется серединным перпендикуляром.

1. Дано: АВ - отрезок;

АС = СВ; СК ⊥ АВ.

Доказать: АК = КВ.

Доказательство:

Рассмотрим ΔАКС и ΔСКВ - прямоугольные.

КС - общая,

АС - СВ (по условию)

⇒ ΔАКС = ΔСКВ (по двум катетам)

• В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

⇒ АК = КВ.

• Все точки, лежащие на прямой, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной этому отрезку, равноудалены от концов отрезка АВ.

2. Сформулируем обратное утверждение:

• Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре.

Дано: АВ - отрезок.

АМ = МВ;

СК - серединный перпендикуляр.

Доказать: М ∈ СК.

Доказательство:

Соединим точки М и С.

Рассмотрим ΔАМВ.

АМ = МВ (по условию)

⇒ ΔАМВ - равнобедренный.

АМ - медиана (построение)

• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является высотой.

⇒ АМ - высота.

• Через точку С можно провести перпендикуляр к данной прямой, причем только один.

⇒ СМ и СК совпадают ⇒ М ∈ СК.

Что и требовалось доказать.

#SPJ1

Answer 2

Для доказательства утверждения о равноудаленности всех точек, лежащих на прямой, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной этому отрезку, от концов отрезка AB, мы можем использовать геометрические свойства и определения.

Утверждение: Все точки, лежащие на прямой, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной этому отрезку, равноудалены от концов отрезка AB.

Доказательство:

1. Пусть M - середина отрезка AB, а P - произвольная точка на прямой, проходящей через M и перпендикулярной отрезку AB. 2. Проведем отрезки AM и BM. 3. По определению середины отрезка, AM = MB. 4. По определению перпендикуляра, угол AMB = 90 градусов. 5. Рассмотрим треугольники AMP и BMP. 6. По свойству равнобедренного треугольника, AM = BM и угол AMB = угол BMA = 90 градусов. 7. Таким образом, треугольники AMP и BMP равны по двум сторонам и углу, следовательно, они равнобедренные. 8. По свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная из вершины угла, делит основание пополам. 9. Значит, точка P равноудалена от точек A и B, так как AP = BP. 10. Таким образом, все точки, лежащие на прямой, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной этому отрезку, равноудалены от концов отрезка AB.

Обратное утверждение: Если точка P равноудалена от точек A и B, то она лежит на прямой, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной этому отрезку.

Доказательство:

1. Пусть P - точка, равноудаленная от точек A и B. 2. Проведем отрезки AP и BP. 3. По условию, AP = BP. 4. По свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная из вершины угла, делит основание пополам. 5. Значит, точка P лежит на прямой, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной этому отрезку. 6. Таким образом, если точка P равноудалена от точек A и B, то она лежит на прямой, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной этому отрезку.

Таким образом, мы доказали исходное утверждение о равноудаленности всех точек, лежащих на прямой, проходящей через середину отрезка AB и перпендикулярной этому отрезку, от концов отрезка AB, а также его обратное утверждение.