Question

Сколько треугольников можно составить из вершин выпуклого многоугольника с n сторонами? А сколько, если ни одна из сторон многоугольника не является стороной какого-либо треугольника?

Answer 1

Ответ:

n(n-1)(n-2)/6 треугольников

n(n-4)(n-5)/6 треугольников

Объяснение:

Первую вершину можно выбрать n способами (всего n возможных точек из вершин многоугольника - для вершин треугольника), вторую n-1 (так одну уже выбрали), третью n-2. По правилу умножения событий всего можно построить n(n-1)(n-2) треугольников. При этом каждый треугольник мы посчитали 6 раз. (A->B->C, A->C->B, B->C->A, B->A->C, C->A->B, C->B->A), итого имеем  n(n-1)(n-2)/6 треугольников

Чтобы можно было образовать треугольник, нужны еще три точки которые будут вершинами многоугольника и лежать "между" вершинами треугольника

Первую вершину можно выбрать n способами (всего n возможных точек из вершин многоугольника - для вершин треугольника), вторую n-4 (так одну уже выбрали, нельзя брать 3 "невершины" - иначе получим сторону многоугольника), третью n-5 (3 "невершины" нельзя, 2 уже выбрали). По правилу умножения событий всего можно построить n(n-4)(n-5) треугольников. При этом каждый треугольник мы посчитали 6 раз, итого имеем  n(n-4)(n-5)/6 треугольников  

Answer 2

Количество треугольников, составленных из вершин выпуклого многоугольника с n сторонами

Чтобы определить количество треугольников, которые можно составить из вершин выпуклого многоугольника с n сторонами, мы можем использовать следующую формулу:

Количество треугольников = (n-2) * (n-1) * n / 6.

Например, если у нас есть многоугольник с 5 сторонами, то количество треугольников, которые можно составить из его вершин, будет:

(5-2) * (5-1) * 5 / 6 = 3 * 4 * 5 / 6 = 60 / 6 = 10.

Таким образом, из вершин пятиугольника можно составить 10 треугольников.

Количество треугольников, если ни одна сторона многоугольника не является стороной треугольника

Если ни одна сторона многоугольника не является стороной треугольника, то количество треугольников, которые можно составить из его вершин, будет равно:

Количество треугольников = (n-3) * (n-2) * (n-1) / 6.

Например, если у нас есть многоугольник с 5 сторонами, и ни одна из его сторон не является стороной треугольника, то количество треугольников, которые можно составить из его вершин, будет:

(5-3) * (5-2) * (5-1) / 6 = 2 * 3 * 4 / 6 = 24 / 6 = 4.

Таким образом, из вершин пятиугольника, если ни одна сторона не является стороной треугольника, можно составить 4 треугольника.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.