Question

Діагоналі АС і BD чотирикутника ABCD перетинаються в точці О. Площі трикутників AOB, BOC i AOD дорівнюють 6 см2, 4 см2 і 9 см2, відповідно. Доведіть, що прямі ВСi AD паралельні.​

Answer 1

Ответ:

..........................................................

Объяснение:

Answer 2

Для доведення, що прямі ВС і AD паралельні, скористаємося рівністю площ трикутників.

За умовою, площі трикутників AOB, BOC і AOD дорівнюють 6 см², 4 см² і 9 см² відповідно.

Позначимо довжини сторін трикутників AOB, BOC і AOD через a, b і c відповідно. За властивостями діагоналей чотирикутника, ми маємо:

Площа трикутника AOB дорівнює половині добутку довжини діагоналі AC і висоти, опущеної на цю діагональ. Тобто:

6 = (1/2) * AC * h1,

де h1 - висота, опущена на діагональ AC.

Аналогічно,

4 = (1/2) * BC * h2,

9 = (1/2) * AD * h3.

Ми хочемо довести, що BC || AD, тобто що кут BOC дорівнює куту AOD.

Подивимося на відношення площ трикутників BOC і AOD:

4/9 = (1/2) * BC * h2 / ((1/2) * AD * h3) = BC/AD * h2/h3.

Так як площі трикутників BOC і AOD рівні, маємо:

BC/AD * h2/h3 = 1.

Звідси випливає, що BC/AD = h3/h2.

Але ми знаємо, що h3 і h2 - висоти, опущені на діагоналі AC. Оскільки діагоналі перетинаються в точці О, то висоти h3 і h2 розташовані у плоскості, проходячій через точку О. Тому вони паралельні.

Отже, BC/AD = h3/h2 = 1, що означає, що прямі ВС і AD паралельні.