Question

Рівняння кола задано рівнянням x^2-6x+y^2+4y-12=0 Знайти координати центра О цього кола і радіус R кола.ДАЮ 30 Балів !!!

Answer 1

Ответ: координаты центра окружности - (3; -2), а радиус R = 5.

Объяснение:

Уравнение окружности с центром в точке (а; b) и радиусом R имеет вид: (х - а)² + (у - b)² = R².

Поэтому нам нужно выделить в данном уравнении полные квадраты, т.е. нужно "увидеть" формулы (а ± b)² = a² ± 2ab + b².

х² - 6х + у² + 4у - 12 = 0,

(х² - 2 · х · 3 + 3²) - 3² + (у² + 2 · у · 2 + 2²) - 2² - 12 = 0,

(х - 3)² + (у + 2)² - 9 - 4 - 12 = 0,

(х - 3)² + (у + 2)² = 25,

(х - 3)² + (у + 2)² = 5².

Значит, координаты центра окружности - (3; -2), а радиус R = 5.

Answer 2

Задане рівняння кола у вигляді:

\[ x^2 - 6x + y^2 + 4y - 12 = 0 \]

Щоб знайти координати центра кола \((Ox, Oy)\) та його радіус \(R\), треба переписати рівняння у канонічній формі:

\[ (x - Ox)^2 + (y - Oy)^2 = R^2 \]

Давайте спробуємо допрацювати задане рівняння:

\[ x^2 - 6x + y^2 + 4y - 12 = 0 \]

Групуємо за квадратичними термінами та дописуємо невідомі члени:

\[ (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) - 12 - 9 - 4 = 0 \]

Зведемо кожен квадратичний термін до квадрату повного квадрата:

\[ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 25 = 0 \]

Тепер отримали рівняння у канонічній формі. Порівнюючи коефіцієнти, можемо визначити центр та радіус:

Центр кола \((Ox, Oy)\) визначається як \((3, -2)\), оскільки відомо, що \((x - Ox)^2 = (x - 3)^2\) та \((y - Oy)^2 = (y + 2)^2\).

Радіус \(R\) визначається як \(\sqrt{25} = 5\), оскільки \(-25\) є константою в рівнянні.

Отже, координати центра кола \(O\) - \((3, -2)\), а радіус \(R\) - \(5\).