Question

СРОЧНО.У рівнобедреному трикутнику МПС з основою МС на медіані ИК позначили точку S. Доведіть, що 1) трикутники MNS i CNS PiBHİ; 2) трикутники MSK i CSK рівні​

Answer 1

Спільна. Тому за двома сторонами та кутом між ними трикутники рівні. У рівних трикутників рівні відповідні сторони. Маємо ВА = ВС. Такий трикутник АСВ за означенням рівнобедрений.

Задача 212. Трикутник АВС — рівнобедрений з основою АС, ВD — його бісектриса, DМ — бісектриса трикутника ВDС. Знайдіть кут ADМ.
Розв'язання.

За умовою трикутник АВС — рівнобедрений з основою АС. У рівнобедреному трикутнику АВС бісектриса, медіана та висота, проведені до його основи збігаються. З означення висоти маємо ADB = CDB = 90˚. З означення бісектриси маємо BDM = ½ CDB = ½ 90˚ = 45˚. За основною властивістю величини кута ADM = ADB + BDM = 90˚ + 45˚ = 135˚.

Задача 213. Один учень стверджує, що деякий трикутник рівнобедрений, а другий учень — що цей трикутник рівносторонній.
1) Чи можуть обидва учні бути правими?
2) У якому випадку правий тільки один учень і який саме?
Розв'язання.
1) Так, якщо трикутник рівносторонній, то він є рівнобедреним.
2) Якщо у рівнобедреного трикутника довжини бічної сторони та основи різні, тоді неправий учень, що стверджує про рівносторонній трикутник.

Задача 214. Використовуючи ознаки рівності трикутників, доведіть ознаку рівності рівнобедрених трикутників за бічною стороною та кутом при вершині.
Розв'язання.
Якщо трикутник рівнобедрений, тоді його дві бічні сторони рівні. Кут при вершині буде кутом між бічними сторонами. Використаємо ознаку рівності трикутників за двома сторонами та кутом між ними. Тому, якщо за бічною стороною та кутом при вершині рівнобедрені трикутники рівні.

Задача 215. Використовуючи ознаки рівності трикутників, доведіть ознаку рівності рівнобедрених трикутників за основою та прилеглим до неї кутом.
Розв'язання.
Якщо трикутник рівнобедрений, тоді його прилеглі кути при основі рівні. Використаємо ознаку рівності трикутників за стороною та прилеглими кутами. Тому, якщо за основою та прилеглим до неї кутом рівнобедрені трикутники рівні.

Задача 216. На основі АС рівнобедреного трикутника АВС позначено точки М і К так, що точка М лежить між точками А і К, причому АМ = СК. Доведіть, що трикутник МВК рівнобедрений.
Розв'язання.

За умовою трикутник АВС рівнобедрений, тоді АВ = АС, кути при основі рівні А = С. Розглянемо трикутники АВМ і СВК. За умовою АМ = СК, тому за двома сторонами та кутом між ними ∆АВМ = ∆СВК. У рівних трикутників рівні відповідні сторони, отже, МВ = КВ. За означенням трикутник МВК – рівнобедрений.

Задача 217. У трикутнику МКЕ відомо, що МК = МЕ. На стороні КЕ позначено точки F і N так, що точка N лежить між точками F і Е, причому ﮮКМF = ﮮЕМN. Доведіть, що ﮮМFN = ﮮМNF.
Розв'язання.
Пожалуста поставь мне лаик за старание

Answer 2

Для доведення рівності трикутників MNS і CNS, а також трикутників MSK і CSK, ми можемо скористатися властивостями рівнобедреного трикутника та медіаною.

Доведення рівності трикутників MNS і CNS:

1) За властивістю медіани, точка S ділить медіану IK в пропорції 2:1. Тобто, IS = 2SK. 2) Оскільки трикутник МПС є рівнобедреним, то МС = МП. 3) За властивістю рівнобедреного трикутника, медіана поділяє основу навпіл. Тобто, МС = СS. 4) За властивістю рівнобедреного трикутника, медіана є бісектрисою кута при основі. Тобто, кут МСI = кут CSI. 5) Отже, за властивостями рівнобедреного трикутника та медіани, ми маємо: - Трикутник MNS: MN = MS, кут МNS = кут MSN = кут MSK = кут CSK, IS = 2SK. - Трикутник CNS: CN = CS, кут CNS = кут CSN = кут CSK = кут MSK, IS = 2SK. - Отже, трикутники MNS і CNS є рівними.

Доведення рівності трикутників MSK і CSK:

1) За властивістю медіани, точка S ділить медіану IK в пропорції 2:1. Тобто, IS = 2SK. 2) Оскільки трикутник МПС є рівнобедреним, то МС = МП. 3) За властивістю рівнобедреного трикутника, медіана поділяє основу навпіл. Тобто, МС = СS. 4) За властивістю рівнобедреного трикутника, медіана є бісектрисою кута при основі. Тобто, кут МСI = кут CSI. 5) Отже, за властивостями рівнобедреного трикутника та медіани, ми маємо: - Трикутник MSK: MS = MK, кут MSK = кут MKS = кут CSK = кут CSK, IS = 2SK. - Трикутник CSK: CS = CK, кут CSK = кут CKS = кут MSK = кут MSK, IS = 2SK. - Отже, трикутники MSK і CSK є рівними.

Таким чином, ми довели, що трикутники MNS і CNS, а також трикутники MSK і CSK є рівними.