Question

площа многокутника дорівнює 24 см2, а площа його ортогональної проекції – 16 см2. Знайдіть кут між площиною многокутника і площиною проекції

Answer 1

Ответ:

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекций.

$\bf S_1=S\cdot cos\alpha \ \ \ \Rightarrow \ \ \ cos\alpha =\dfrac{S_1}{S}\\\\\\cos\alpha =\dfrac{16}{24}=\dfrac{2}{3}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \alpha =arccos\dfrac{2}{3}$                        

Answer 2

Щоб знайти кут між площиною многокутника і площиною його ортогональної проекції, нам потрібно використати поняття скалярного добутку векторів.

Перш за все, давайте уточнимо, що означають "площа многокутника" і "площа його ортогональної проекції". Зазвичай, коли говорять про "площу многокутника", мають на увазі площу площини, на якій лежить многокутник. А "площа його ортогональної проекції" - це площа площини, на яку проекціюється многокутник перпендикулярно до площини многокутника.

Тепер давайте позначимо площину многокутника як P1 і площину його ортогональної проекції як P2. За умовою, площа многокутника дорівнює 24 см², а площа його ортогональної проекції дорівнює 16 см².

Ми можемо використати формулу для обчислення скалярного добутку векторів, щоб знайти кут між площиною P1 і P2. Формула скалярного добутку векторів має вигляд:

A · B = |A| * |B| * cos(θ)

де A і B - вектори, |A| і |B| - їх довжини, а θ - кут між ними.

У нашому випадку, ми можемо розглядати вектори, як нормалі до площин P1 і P2. Ми знаємо, що нормаль до площини многокутника і нормаль до його ортогональної проекції є перпендикулярними, тому ми можемо записати:

cos(θ) = 0

Оскільки cos(θ) = 0, це означає, що кут θ дорівнює 90 градусів або π/2 радіан. Тобто, площина многокутника і площина його ортогональної проекції є перпендикулярними одна до одної.

Отже, кут між площиною многокутника і площиною його ортогональної проекції дорівнює 90 градусів або π/2 радіан.