Question

Площадь треугольника АВС равна 90 см^2. Отрезок ВK — биссектриса треугольника АВС. Найдите площади треугольников АВK и СВK, если АВ : ВС = 5 : 4.

Answer 1

Известно, что биссектриса треугольника делит его на два треугольника, площади которых пропорциональны длинам сторон, к которым эта биссектриса проведена. В данном случае отрезок ВК является биссектрисой треугольника АВС и проведен к стороне АС. Следовательно, площади треугольников АВК и СВК пропорциональны длинам сторон АВ и ВС соответственно. Из условия задачи известно, что АВ : ВС = 5 : 4. Значит, площади треугольников АВК и СВК также относятся как 5 : 4.

Пусть S1 и S2 - площади треугольников АВК и СВК соответственно. Тогда S1 + S2 = 90 см² и S1/S2 = 5/4. Решив эту систему уравнений относительно S1 и S2, получим S1 = 50 см² и S2 = 40 см². Таким образом, площадь треугольника АВК равна 50 см², а площадь треугольника СВК равна 40 см².

Answer 2

Для начала определим, что такое биссектриса треугольника.

Биссектриса треугольника - это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащего ей угла и делит этот угол на две равные части.

Дано, что площадь треугольника АВС равна 90 см^2, а отрезок Вк является биссектрисой треугольника АВС.

Также задано, что АВ:ВС = 5:4.

Теперь можем использовать свойство биссектрисы треугольника для нахождения площадей треугольников АВк и СВк.

Согласно свойству биссектрисы треугольника, отношение площадей двух треугольников, образованных биссектрисой, равно отношению квадратов сторон, через которые проходит биссектриса. То есть:

Площадь треугольника АВк / Площадь треугольника СВк = (АВ^2) / (ВС^2)

Известно, что АВ:ВС = 5:4, поэтому (АВ/ВС)^2 = (5/4)^2 = 25/16.

Теперь можем написать уравнение:

Площадь треугольника АВк / Площадь треугольника СВк = 25/16.

Пусть площадь треугольника СВк равна S, тогда площадь треугольника АВк будет равна (25/16)S.

Также известно, что площадь треугольника АВС равна 90 см^2.

Площадь треугольника АВС = площадь треугольника АВк + площадь треугольника ВСк.

90 = (25/16)S + S.

Переносим все в одну часть уравнения и упрощаем:

16*90 = 25S + 16S.

1440 = 41S.

S = 1440 / 41.

Таким образом, площадь треугольника СВк равна 1440/41 квадратных сантиметров, а площадь треугольника АВк равна (25/16) * (1440/41) квадратных сантиметров.