Question

Дано трикутник зі сторонами 8 см і 12 см та кутом 60° між ними. Обчислити площу його ортогональної проекції на площину, яка утворює з площиною трикутника кут 30°.

Answer 1

Для вирішення цієї задачі використовуємо геометричні принципи і формули.

Знайдемо площу початкового трикутника за формулою площі трикутника: S = (1/2) * a * b * sin(C), де a, b - довжини сторін трикутника, C - міжкутовий кут між цими сторонами в радіанах.

Задані дані:

a = 8 см

b = 12 см

C = 60°

Переведемо кут C в радіани:

C_rad = 60° * (π / 180°)

Підставимо дані в формулу площі трикутника:

S = (1/2) * 8 см * 12 см * sin(60°) = (1/2) * 8 см * 12 см * sin(C_rad) ≈ 38.67 кв. см

Отже, площа початкового трикутника дорівнює близько 38.67 квадратних сантиметрів.

Знайдемо площу ортогональної проекції на площину, яка утворює з площиною початкового трикутника кут 30°. Оскільки площина проекції ортогональна до площини трикутника, то проекція трикутника на цю площину буде виглядати як трикутник з такими жі сторонами, але з площиною проекції в ролі однієї з його сторін.

Заданий кут між площиною трикутника і площиною проекції - 30°.

Знайдемо висоту ортогональної проекції, що опущена на площину проекції. Висота ортогональної проекції дорівнює добутку сторони трикутника, перпендикулярної до площини проекції, на sin(30°), оскільки ми маємо прямокутний кут між стороною трикутника та висотою ортогональної проекції.

h = b * sin(30°) = 12 см * sin(30°) ≈ 6 см

Answer 2

Площа ортогональної проекції трикутника на площину може бути обчислена за формулою:

S = S₀ * cos(α),

де S₀ - площа початкового трикутника, α - кут між площиною трикутника та площиною проекції.

Спочатку знайдемо площу початкового трикутника. Використаємо формулу Герона:

S₀ = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

де a, b, c - довжини сторін трикутника, p - півпериметр трикутника, що обчислюється за формулою:

p = (a + b + c) / 2.

Заміняючи дані в формули, отримаємо:

p = (8 + 12 + 10) / 2 = 15,

S₀ = √(15 * (15 - 8) * (15 - 12) * (15 - 10)) = √(15 * 7 * 3 * 5) = √(15^2 * 7) = 15√7.

Тепер обчислимо кут α за формулою:

α = 180° - 30° = 150°.

Підставляємо значення в формулу площі ортогональної проекції:

S = 15√7 * cos(150°).

Косинус 150° можна знайти, використовуючи тригонометричну таблицю або калькулятор. Значення косинуса 150° дорівнює -0.866.

Отже,

S = 15√7 * (-0.866) ≈ -18.660.

Отримане значення площі ортогональної проекції на площину, що утворює кут 30° з площиною трикутника, дорівнює приблизно -18.660 см².