Question

Радіус кола, описаного навколо правильного многокутника, дорівнює 10 см, а радіус вписаного в нього кола - 5√2 см. Знайдіть кількість сторін многокутника та його сторону.​

Answer 1

Ответ:Назвемо правильний багатокутник, описаний навколо кола, "зовнішнім", а правильний багатокутник, вписаний у коло, "внутрішнім". Тепер можна використовувати одну формулу для радіуса описаного та вписаного кола правильного багатокутника:

радіус описаного кола R = a/2sin(180°/n)

радіус вписаного кола r = a/2tan(180°/n)

де a - довжина сторони багатокутника, n - кількість його сторінки.

У нашому випадку маємо:

R = 10 см r = 5√2 см

Знайдемо співвідношення між радіусами:

r = R/√2

Підставимо це співвідношення у формулу для радіуса вписаного кола:

5√2 = a/2tan(180°/n)

Також можемо знайти вираз для довжини сторони багатокутника, використовуючи використання між радіусом описаного кола та довжиною сторони:

a = 2Rsin(180°/n)

Підставимо значення радіуса описаного кола:

a = 20sin(180°/n)

Тепер можемо підставити цей вираз у формулу для радіуса вписаного кола та отримати рівень:

5√2 = 20sin(180°/n) / 2tan(180°/n)

Спростимо:

tan(180°/n) = 4/√2 tan(90°/n) = 2/√2 tan(45°/n) = 1/√2 n = 8

Таким чином, правильний багатокутник має 8 сторінок. Знайдемо його довгу сторону, підставивши n у формулу для a:

a = 20sin(22,5°) ≈ 8,66 см

Отже, довжина сторони правильного багатокутника дорівнює близько 8,66 см.

Объяснение:

Answer 2

Назвемо кількість сторін многокутника за n, а його сторону за a.

Відомо, що радіус кола, описаного навколо правильного многокутника, дорівнює 10 см. Зв'яжемо його радіус зі стороною многокутника за допомогою формули:

R = a / (2 * sin(π/n)), де R - радіус кола, а - сторона многокутника, n - кількість сторін.

Підставимо в цю формулу вже відомі дані: 10 = a / (2 * sin(π/n)).

Тепер розглянемо радіус кола, вписаного в цей многокутник, який дорівнює 5√2 см. Зв'яжемо його радіус зі стороною многокутника за допомогою формули:

r = a / (2 * tan(π/n)), де r - радіус вписаного кола, a - сторона многокутника, n - кількість сторін.

Підставимо в цю формулу вже відомі дані: 5√2 = a / (2 * tan(π/n)).

Ми маємо систему рівнянь: 10 = a / (2 * sin(π/n)), 5√2 = a / (2 * tan(π/n)).

Для вирішення цієї системи рівнянь, ми можемо спростити її, помноживши два рівняння одне на одне:

10 * (2 * tan(π/n)) = 5√2 * (2 * sin(π/n)).

Спростимо ліву та праву частини:

20 * tan(π/n) = 10√2 * sin(π/n).

Поділимо обидві частини на 10√2 * sin(π/n):

tan(π/n) / (sin(π/n)) = 1 / (2√2).

Використовуючи тригонометричні тотожності, можна спростити ліву частину:

tan(π/n) / (sin(π/n)) = tan(π/n) * (1 / cos(π/n)) = sin(π/n) / cos(π/n) = tan(π/n).

Таким чином, ми маємо рівняння:

tan(π/n) = 1 / (2√2).

Для вирішення цього рівняння ми можемо використовувати таблицю значень тангенсу або використовувати чисельні методи для знаходження коренів рівняння.

Отже, для знаходження кількості сторін многокутника та його сторони необхідно вирішити рівняння tan(π/n) = 1 / (2√2). Це дозволить обчислити значення n та a.