Question

Диагональ равносторонней трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол между боковой стороной и большим основанием трапеции равен . Найдите радиус окружности, описанной вокруг трапеции, если ее высота равна h.

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle\frac{h}{{2\sin \alpha \cos \alpha }}=\displaystyle\frac{h}{{\sin 2\alpha }}$

Объяснение:

Используя метрические соотношения в прямоугольном треугольнике из треугольника $CHD$ получаем:

$\sin \alpha = \displaystyle\frac{{CH}}{{CD}};$

$CD = \displaystyle\frac{h}{{\sin \alpha }}.$

Тогда из треугольника $ACD$

$\cos \alpha = \displaystyle\frac{{CD}}{{AD}};$

$AD = \displaystyle\frac{{CD}}{{\cos \alpha }} = \displaystyle\frac{h}{{\sin \alpha }}:\cos \alpha = \displaystyle\frac{h}{{\sin \alpha }} \cdot \displaystyle\frac{1}{{\cos \alpha }} = \displaystyle\frac{h}{{\sin \alpha \cos \alpha }}.$

Описанная окружность трапеции одновременно является описанной окружностью вокруг прямоугольного треугольника $ACD,$ значит ее радиус равен половине гипотенузы:

$R = \displaystyle\frac{{AD}}{2} = \displaystyle\frac{h}{{2\sin \alpha \cos \alpha }}.$

Пользуясь знаниями по тригонометрии $(\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha ),$ можно записать ответ компактнее:

$R = \displaystyle\frac{h}{{\sin 2\alpha }}.$

Answer 2

Пусть AB и CD - боковые стороны трапеции ABCD (AB || CD), AB - большее основание, CD - меньшее основание. Пусть BD - диагональ трапеции, перпендикулярная боковой стороне AD.

Пусть угол между боковой стороной AD и большим основанием AB равен α.

Так как AD || BC, то угол CBD также равен α. Также угол ADB = 180 - α.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В этом треугольнике:

cos α = BD / AB, sin α = h / AB (где h - высота трапеции).

Из этих равенств можно выразить BD через h:

BD = AB * cos α.

Радиус окружности, описанной вокруг трапеции, равен половине диагонали. То есть радиус R равен:

R = BD / 2 = AB * cos α / 2.

Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг трапеции, равен половине произведения большего основания на косинус угла между боковой стороной и большим основанием, деленное на 2:

R = AB * cos α / 2.