Question

В правильной четырехугольной пирамиде ABCDS с вершиной в точке S сто- рона основания равна 24, боковое ребро равно 20. На ребра BS взята точка В так, что BS =5.Через точку В и середины ребер AS и CS проведена плоскость. Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания пирамиды

Answer 1

Ответ:

∠LOB =arccos(3√2/5) ~31,95°

Объяснение:

Правильная четырехугольная пирамида - в основании квадрат, вершина падает в точку пересечения диагоналей. Диагонали квадрата перпендикулярны, равны, точкой пересечения делятся пополам.

K, L, M - середины ребер AS, BS, CS

SL=10, B1S=5, B1 - середина SL => KB1 - средняя линия ASL, KB1||AL

Аналогично MB1||CL

Плоскость сечения KB1M параллельна плоскости ALC

∠LOB - угол между плоскостями (ALC) и (ABC) - искомый

LO - средняя линия SBD, LO||SD, ∠LOB=∠SDB

DO =CD/√2 =24/√2

cos(SDO) =DO/DS =24/20√2 =3√2/5

Answer 2

Для решения этой задачи можно воспользоваться свойством пирамиды, которое гласит: если из вершины пирамиды провести прямые линии к серединам основания, то полученные прямые будут перпендикулярны к плоскости основания.

По условию задачи из вершины S проведем прямые линии к серединам AB и CD. Обозначим их точками M и N соответственно.

Так как пирамида ABCDS правильная, то диагонали основания AB и CD равны и равны 24, а боковые ребра равны 20. В треугольнике SAB применим теорему Пифагора: SA² = SB² + AB², SA² = 20² + 24², SA² = 400 + 576, SA² = 976, SA = √976, SA = 8√61.

Точки M и N являются серединами сторон AB и CD соответственно, поэтому AM = MB = 12 и CN = ND = 12.

Рассмотрим теперь треугольник SMN. В нем SM = 5 (по условию задачи), а AM = 12 и MN = ND = 12. Треугольник SMN - прямоугольный. Применим теорему Пифагора: SN² = SM² + MN², SN² = 5² + 12², SN² = 25 + 144, SN² = 169, SN = √169, SN = 13.

Теперь рассмотрим плоскость, проходящую через точку B и середины ребер AS и CS. Обозначим эту плоскость как α.

Так как прямые AS и CS являются серединными перпендикулярами к основанию пирамиды ABCD, то плоскость α будет перпендикулярна к плоскости ABCD.

Значит, угол между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды ABCD равен 90°.