Question

ДАЮ 30 БАЛЛОВ!!!! Периметр прямокутного трикутника дорівнює 48 см, а радіус описаного кола - 10 см. Знайдіть площу трикутника.

Answer 1

Ответ:

96 см².

Первый способ решения:

По теореме гипотенуза прямоугольного треугольника с = 2R, где R - радиус описанной около треугольника окружности

с = 2•10 = 20 (см).

По теореме в прямоугольном треугольнике

r = p - c, где r - радиус вписанной в треугольник окружности,

с - гипотенуза,

р - полупериметр, тогда

р = Р : 2 = 48 : 2 = 24 (см),

r = 24 - 20 = 4 (см).

2) S = p • r = 24 • 4 = 96 (см²).

Второй способ решения:

1) По теореме гипотенуза прямоугольного треугольника с = 2R, где R - радиус описанной около треугольника окружности

с = 2•10 = 20 (см).

Сумма катетов равна

48 - 20 = 28 (см)

Пусть больший катет равен х см,

тогда меньший катет равен (28 - х)см, по теореме Пифагора

с² = а² + b²

20² = x² + (28-x)²

400 = x² + 784 - 56x + x²

2x² - 56x + 384 = 0

x² - 28x + 192 = 0

D = 784 - 768 = 16

x1 = (28+4)/2 = 16

х2 = (28-4)/2 = 12

По условию х - больший катет, тогда х = 16,

28 - 16 = 12 (см) - меньший катет треугольника.

2) По теореме площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, S = 1/2 • a • b = 1/2 • 16 • 12 = 96 (см²).

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться тем фактом, что радиус описанного круга прямоугольного треугольника связан с его сторонами следующим образом. Пусть \(a\), \(b\) и \(c\) - стороны прямоугольного треугольника, а \(R\) - радиус описанного круга. Тогда:

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

где \(S\) - площадь треугольника.

Также известно, что периметр треугольника равен сумме его сторон:

\[ P = a + b + c \]

В данной задаче известен периметр \(P = 48\) см. Радиус описанного круга \(R = 10\) см. Мы можем воспользоваться этой информацией для выражения сторон треугольника через радиус.

Сначала найдем стороны треугольника. Поскольку \(P = a + b + c\), и треугольник прямоугольный, можно воспользоваться тем, что сумма катетов равна гипотенузе:

\[ a + b + c = 48 \] \[ a + b + \sqrt{a^2 + b^2} = 48 \]

Теперь мы можем воспользоваться выражением для радиуса описанного круга:

\[ R = \frac{abc}{4S} \]

где \(S\) - площадь треугольника. Площадь треугольника можно выразить через полупериметр \(p = \frac{P}{2}\) и радиус описанного круга \(R\):

\[ S = \frac{abc}{4R} \]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(a\) и \(b\)). Решив эту систему уравнений, мы найдем стороны треугольника и, следовательно, его площадь.

Решение этой системы уравнений может быть сложным вручную, и я рекомендую использовать программы для решения уравнений или калькулятор.