Question

В равнобедренном треугольнике ABC(AB=BC)проведены высоты AM и CK.Докажите,что BM=BK.

Answer 1

Рассмотри тругольники AKM и  AMC
AC - общая сторона, угол BAC равен углу BCA ( т.к. тругольник равнобедренный). Следовательно эти треугольники равны, следовательно AK = MC. BK = BA - AK, BM = BC - MC и т.к. AK = MC, AB = BC то и BK = BM , что и требовалось доказать 

Answer 2

Для начала заметим, что в равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) высота AM является медианой и биссектрисой, а высота CK является высотой и медианой (так как CK также делит сторону AB пополам).

Теперь рассмотрим треугольники ABM и CBK. У них углы AMB и BKC равны, так как они являются вертикальными углами. Также, у них углы ABM и CBK равны, так как треугольник ABC равнобедренный и углы AMB и BKC являются углами при основании.

Из этих равенств следует, что треугольники ABM и CBK подобны (по углам), и, следовательно, их соответствующие стороны пропорциональны. Так как AB=BC, то BM=BK, что и требовалось доказать.