Question

Сформулюйте і доведіть теорему про рівні хорди

Answer 1

Добуток відрізків однієї хорди дорівнює добутку відрізків іншої хорди

А якщо хорд декілька

Добуток відрiзкiв хорд є величина стала).

Answer 2

Теорема про рівні хорди стверджує, що якщо дві хорди в колі мають однакову довжину, то вони розташовані на однаковій відстані від центра кола.

Доведення:

Нехай у колі дані дві хорди AB і CD, які мають однакову довжину. Треба довести, що вони розташовані на однаковій відстані від центра кола.

Позначимо центр кола як O і проведемо радіуси OA, OB, OC і OD. Для зручності позначимо довжину хорди AB як x.

Так як радіуси кола є променями, які по

Answer 3

Теорема про рівні хорди є однією з основних теорем геометрії кола і визначає умови рівності довжин двох хорд, проведених в колі. Сформулюємо і доведемо цю теорему.

Теорема про рівні хорди: Якщо дві хорди в колі рівні за довжиною, то відповідні відрізки кола, обмежені цими хордами, також рівні між собою.

Доведення: Розглянемо коло з центром в точці O і дві рівні хорди AB і CD (AB = CD). Позначимо середину хорди AB через M, а середину хорди CD через N.

1. Колінеарність середин і центра: Знаменита теорема про колінеарність середин стверджує, що відрізок, що з'єднує середини двох сторін будь-якого чотирикутника, паралельний і половинний відповідного діаметра.

З цієї теореми ми маємо, що MO || CO і NO || CO.

2. Розгляд хорд: Оскільки AB і CD - рівні хорди, то AM = MB і CN = ND, оскільки M і N - середини відповідних хорд.

3. Трикутники: Розглянемо трикутники AOM і CON. Оскільки MO || CO і AM = MB, то за теоремою про трикутники з паралельними сторонами та серединним відрізком маємо, що трикутники AOM і CON подібні.

З аналогічної причини трикутники BOM і DON також подібні.

4. Відношення сторін: З подібності трикутників AOM і CON отримуємо, що OA / OC = AM / CN.

З подібності трикутників BOM і DON отримуємо, що OB / OD = BM / DN.

5. Додавання рівності: Оскільки AM = MB і CN = ND, то AM + BM = CN + ND.

6. Використання додавання рівності: З відомих відношень, отриманих в попередніх пунктах, маємо OA + OB = OC + OD.

Це означає, що сума відстаней від точок A і B до центра кола дорівнює сумі відстаней від точок C і D до центра кола.

Таким чином, відстані від точок A і B до центра кола рівні, що і доводить теорему.

Таким чином, якщо дві хорди в колі рівні за довжиною, то відповідні відрізки кола, обмежені цими хордами, також рівні між собою.