Question

Точки X и Y делят окруженость на две дуги, длины которых относятся как 13:17. Найдите величину центрального угла, опирающегося на большую из дуг. Ответ дайте в градусах.​

Answer 1

Составим пропорцию для бОльшей дуги и всей окружности (360 градусов):
17 / (13 + 17) = x / 360 => x = 360 * 17/30 = 12*17 = 204 градуса.

Ответ: 204 градуса.

Answer 2

Для решения этой задачи используем следующий подход.

Пусть \( A \) и \( B \) — точки, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 13:17. Тогда угол \( \angle AOB \) (где \( O \) — центр окружности) будет центральным углом, опирающимся на большую из дуг.

Обозначим длины дуг как \( 13x \) и \( 17x \) соответственно, где \( x \) — некоторая константа, а \( s \) — длина окружности.

Тогда мы можем записать уравнение, связывающее длины дуг и длину окружности:

\[ 13x + 17x = s \]

Суммируем длины дуг, их отношение равно отношению чисел 13 и 17. Теперь решим это уравнение относительно \( x \):

\[ 30x = s \]

Теперь у нас есть выражение для длины дуги в терминах длины окружности. Так как длина окружности равна \( 2\pi r \), где \( r \) — радиус окружности, мы можем записать:

\[ 30x = 2\pi r \]

Теперь решим уравнение относительно \( r \):

\[ r = \frac{15x}{\pi} \]

Теперь мы можем использовать теорему о длине дуги для вычисления угла \( \angle AOB \). Длина дуги выражается как:

\[ \text{Длина дуги} = \frac{\text{Центральный угол}}{360^\circ} \times 2\pi r \]

Подставим значение \( r \) и длины дуг, чтобы найти центральный угол:

\[ 13x = \frac{\text{Центральный угол}}{360^\circ} \times 2\pi \times \frac{15x}{\pi} \]

Упростим уравнение:

\[ 13x = \frac{\text{Центральный угол}}{360^\circ} \times 30x \]

Теперь решим уравнение относительно центрального угла:

\[ \text{Центральный угол} = \frac{13}{30} \times 360^\circ \]

\[ \text{Центральный угол} = 156^\circ \]

Таким образом, величина центрального угла, опирающегося на большую из дуг, равна \( 156^\circ \).