Question

100 БАЛЛОВ!!!!! Площадь поверхности правильного тетраэдра равна площади поверхности шара. Найдите отношение объемов тетраэдра и шара.

Answer 1

Ответ:

1. Площадь куба = 6 а^2, где а - длина ребра

Объем - а^3

2. Площадь шара = 4πr^2

Объем = 4/3 πr^3

3. 6 а^2=4πr^2, найдите отсюда а или r и подставьте в формулы ( а^3) и (4/3 πr^3) и найдите отношения

Объяснение:

Answer 2

Задача заключается в нахождении отношения объемов правильного тетраэдра и шара, если площади их поверхностей равны.

Площадь поверхности правильного тетраэдра выражается формулой:

S_тетраэдра = sqrt(3)*a^2,

где a - длина ребра тетраэдра.

Площадь поверхности шара выражается формулой:

S_шара = 4π*r^2,

где r - радиус шара.

Из условия задачи следует уравнение:

sqrt(3)*a^2 = 4π*r^2.

Нам известно, что объем шара V_шара равен:

V_шара = (4π/3)*r^3.

Наша задача - найти отношение объемов V_тетраэдра и V_шара.

Поскольку радиус шара и длина ребра тетраэдра входят в уравнение для площади поверхности, можно предположить, что их отношение останется неизменным и при переходе к объемам.

Давайте выразим радиус шара через длину его ребра:

sqrt(3)*a^2 = 4π*r^2, r^2 = (sqrt(3)*a^2)/(4π), r = sqrt((sqrt(3)*a^2)/(4π)),

Используем полученное выражение радиуса в формуле объема шара:

V_шара = (4π/3)*r^3, V_шара = (4π/3)*((sqrt(3)*a^2)/(4π))^(3/2), V_шара = (π/3)*sqrt(3)*a^3.

Теперь мы имеем выражение для объема шара.

Чтобы найти отношение объемов V_тетраэдра и V_шара, разделим объем тетраэдра на объем шара:

V_тетраэдра/V_шара = (3*a^2)/(π*sqrt(3)*a^3), V_тетраэдра/V_шара = 3/(π*sqrt(3)*a).

Таким образом, отношение объемов тетраэдра и шара равно 3/(π*sqrt(3)*a).