Question

Апофема правильної чотирикутної піраміди дорівнює 12 см і утворює з площиною основи кут 30 градусів. Знайдіть об’єм піраміди

Answer 1

Ответ:

Объем пирамиды равен 864 см ³.

Объяснение:

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD  .

Апофема SM= 12 см. ∠ SMO= 30°.

SO- высота пирамиды. Тогда ΔSОM- прямоугольный.

По свойству катета, лежащего напротив угла в 30°, катет SO равен половине гипотенузы SM.

$SO= \dfrac{1}{2} \cdot SM;\\\\SO= \dfrac{1}{2} \cdot 12=6;$

Тогда высота пирамиды равна 6 см.

Применим теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

$SM^{2} =SO^{2} +OM^{2};\\ OM^{2}=SM^{2} -SO^{2};\\OM= \sqrt{SM^{2} -SO^{2}} ;\\OM= \sqrt{12^{2} -6^{2} } =\sqrt{(12-6)(12+6)} =\sqrt{6\cdot18} =\sqrt{6\cdot6\cdot3} =6\sqrt{3}$

Тогда сторона основания пирамиды

$AB= 2\cdot OM;\\AB=2\cdot 6\sqrt{3} =12\sqrt{3}$

Основанием данной пирамиды является квадрат со стороной

12√3 см. Найдем площадь основания пирамиды, то есть площадь квадрата

$S= (12\sqrt{3} )^{2} =12^{2} \cdot(\sqrt{3} )^{2} =144\cdot3$  см².

Найдем объем пирамиды

$V=\dfrac{1}{3} S\cdot H;\\\\V=\dfrac{1}{3} \cdot 144\cdot3\cdot 6=144\cdot6= 864$

Объем пирамиды равен 864 см ³.

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, нам потрібно знайти площу основи піраміди і висоту піраміди. Оскільки піраміда правильна, то основа є квадратом, а вершина проектується в центр основи. Нехай сторона квадрата дорівнює a, а висота піраміди дорівнює h. Тоді площа основи дорівнює S = a^2.

За умовою задачі, апофема піраміди дорівнює 12 см і утворює з площиною основи кут 30 градусів. Апофема є висотою бічної грані, яка є рівнобедреним трикутником. Отже, ми можемо скористатися тригонометричними функціями, щоб знайти a і h. Зокрема, ми можемо використати формули:

sin(30) = h / 12 cos(30) = a / 2 / 12

Звідси ми отримуємо:

h = 12 * sin(30) = 12 * 0.5 = 6 см a = 2 * 12 * cos(30) = 24 * 0.866 = 20.8 см

Тепер, коли ми знаємо площу основи і висоту піраміди, ми можемо знайти об'єм піраміди за формулою:

V = 1/3 * S * h = 1/3 * 20.8^2 * 6 = 979.2 см^3

Відповідь: об'єм піраміди дорівнює 979.2 см^3.