Question

На прямой, содержащей основание равнобедренного треугольника, взята точка. Расстояния от этой точки до прямых, содержащих боковые стороны этого треугольника, различаются на 8 см. Чему равна высота этого треугольника, проведённая к любой боковой стороне?

Answer 1

Ответ: 8 см

Объяснение: Пусть в ∆ АВС с основанием АС  стороны АВ=ВС.

  К - точка на прямой АС.

КМ перпендикулярна прямой АВ, пересекает её в т.  М .

К Д перпендикулярна прямой ВС, пересекает её в т. Д.

Проведем СЕ⊥МК.

КМ-КД=8 см ( дано).

   Рассмотрим прямоугольные ∆ АМК и ∆ СДК. Они подобны по равным острым углам у вершины С ( вертикальные углы равны). =>  ∠МКА=∠ДКС. Тогда ∆ СЕК=∆ СДК по равному острому углу при К и общей гипотенузе СК.  

ЕК=ДК.

ЕМ=МК-КД=8

   СН - высота ∆ АВС из вершины угла при основании к боковой стороне АВ.

Четырехугольник МЕСН - прямоугольник по построению. =>

СН=ЕМ=8 см

Answer 2

Пусть треугольник ABC является равнобедренным треугольником, а точка M на основании BC. Проведем высоту CD, которая будет являться медианой и биссектрисой треугольника ABC.

Из условия задачи известно, что расстояния от точки M до прямых AB и AC различаются на 8 см. Пусть это расстояние равно а см. Таким образом, расстояние от точки M до прямой AB равно а см, а до прямой AC равно (а + 8) см.

Поскольку треугольник ABC является равнобедренным, то BC = AC. Пусть это расстояние равно b см. Таким образом, расстояние от точки M до прямой BC равно b/2 см.

Из свойств равнобедренного треугольника, медиана CD является высотой этого треугольника. Проведем высоту CE, где E - середина AB, и пусть это расстояние равно h см.

Теперь рассмотрим треугольник CME. Он является прямоугольным треугольником, так как CE - высота, а ME - половина основания AB.

В прямоугольном треугольнике CME применим теорему Пифагора: CE^2 + ME^2 = CM^2.

Известно, что CM^2 = (а + 8)^2 + (b/2)^2, CE = h и ME = b/2.

Тогда получаем: h^2 + (b/2)^2 = (а + 8)^2 + (b/2)^2.

Сокращаем одинаковые члены и приводим уравнение к виду: h^2 = (а + 8)^2.

Раскрываем скобки: h^2 = а^2 + 16а + 64.

Таким образом, высота треугольника, проведенная к любой боковой стороне, равна корню квадратному из а^2 + 16а + 64.