Question

Відрізок MN лежить у площині альфа , кінці відрізка EF належать паралельним площинам альфа і бета . Побудуйте лінії перетину площини бета з площинами (EMN) і (EMF). Побудову обґрунтуйте.

Answer 1

Щоб побудувати лінії перетину площини бета з площинами (emn) і (emf), треба спочатку з'ясувати, які точки перетина вони мають.

З того, що кінці відрізка ef належать паралельним площинам альфа і бета, можемо зрозуміти, що вони лежать на паралельних прямих, які лежать в площині альфа і мають паралельність тій самій прямій, яка лежить в площині бета. Нехай ця пряма в площині альфа буде n'f', а в площині бета - n''f''.

Тоді ми можемо скласти зв'язок між цими прямими. Зрозуміло, що n'en' /// n''e (пряма, що проходить через точку e, паралельна з прямою, що проходить через точку n` і f`) і f'f'' // ef. Звідси ми отримуємо, що пряма n''f'' проходить через точку e.

Тепер, ми можемо знайти точку перетину площини бета з площиною (emn). Ця точка буде лежати на прямій n''f'', яка проходить через точку e, а також на прямій, що проходить через точки n і m. В будь-якій точці перетину прямих вони повинні мати одну і ту саму параметричну рівність.

Позначимо точку перетину як P. Тоді можемо записати параметричну рівність для прямих n''f'' і nm у вигляді: P = e + t(n'' - e) = n + s(m - n),

де t і s - параметри.

З цього зв'язку, ми можемо розв'язати параметри t і s і знайти точку перетину P. Зазначимо, що це буде лінія перетину площини бета з площиною (emn).

Аналогічно можна знайти лінію перетину площини бета з площиною (emf), замінивши точку m точкою f у параметричній рівності.

Таким чином, побудова ліній перетину площини бета з площинами (emn) і (emf) обґрунтована математично при використанні параметричної рівності ліній, що проходять через точки перетину.