Question

в правильной четырёхугольной пирамиде MABCD c вершиной Mстороны основания равны 3, а боковые рёбра равны 8. найдите плошадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку b и середину ребра MD параллельно прямой AC

Answer 1

искомое сечение -  симметричный четырехугольник  BPKL

диагонали  PL , BK  пересекаются под углом 90 град

по условию

стороны основания  AB=BC=CD=AD =3

боковые ребра  MA=MB=MC=MD =8

точка К - середина ребра MD ;  KD = MD /2 = 8/2=4

ABCD -квадрат

диагональ  AC = BD =  3√2

пересечение диагоналей  точка  F  :  BF =FD = BD/2 =3√2 /2 =1.5√2

BK - медиана треугольника  MBD

длина медианы  BK = 1/2 √(2 BM^2 +2 BD^2  - MD^2 ) =1/2 √(2*8^2 +2*(3√2)^2  - 8^2 ) =5

по теореме косинусов

cos KBD = ( KD^2 - (BK^2+BD^2) )/ (-2*BK*BD)= ( 4^2 - (5^2+(3√2)^2) )/ (-2*5*3√2)= 9/(10√2)

MF - высота

треугольник  EBF - прямоугольный

BE = BF / cos KBD = 1.5√2 / [ 9/(10√2)] = 10/3

по теореме Пифагора EF =√(BE^2 - BF^2) =√( (10/3)^2 - (1.5√2)^2) =√238/6

MF - высота

треугольник  MFB - прямоугольный

по теореме Пифагора MF =√( MB^2 -BF^2) =√( 8^2- (1.5√2)^2 ) =√238/2

ME =MF -EF =√238/2- √238/6= √238/3

треугольники  MPL  ~ MCA    подобные

PL / AC = ME /MF ; PL = AC * ME /MF = 3√2 * √238/3 /√238/2 =2√2

площадь   сечения(четырехугольника  BPKL)     

Sс = PL*BK *sin<BEP /2 = 2√2*5*sin90 /2 = 5√2         

Ответ  5√2

Answer 2

Для начала найдем высоту пирамиды, проведя высоту из вершины M к основанию ABCD. Так как боковые рёбра равны 8, а основание равностороннее, то высота будет равна 4√3.

Теперь найдем площадь основания пирамиды ABCD. Так как стороны основания равны 3, то площадь основания будет равна 9.

Далее найдем площадь треугольника MBD, который является боковой гранью пирамиды. Для этого нужно найти длину биссектрисы угла BMD. Так как треугольник MBD является прямоугольным, то биссектриса будет равна 4√2. Теперь можем найти площадь треугольника MBD: 1/2 * 8 * 4√2 = 16√2.

Теперь найдем площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC. Так как середина ребра MD делит высоту пирамиды пополам, то высота сечения будет равна 2√3. Площадь сечения будет равна площади треугольника MBD, умноженной на отношение высоты сечения к высоте пирамиды: 16√2 * (2√3 / 4√3) = 8.

Таким образом, площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку B и середину ребра MD параллельно прямой AC, равна 8.