Question

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребра AB,AD,AA1 равны a,2a,3a.Найдите угол между прямыми BD AB1

Answer 1

сделаем построение по условию

дополнительно

параллельный перенос  прямой (BD) в прямую (B1D1)

искомый угол <AB1D1 в треугольнике ∆AB1D1

 

по теореме Пифагора

 

AB1=√(a^2+(3a)^2) =a√(1+9)= a√10

 

B1D1=√(a^2+(2a)^2) =a√(1+4)= a√5

 

AD1=√((2a)^2+(3a)^2) =a√(4+9)= a√13

 

по теореме косинусов

 

AD1^2 = AB1^2+B1D1^2 - 2*AB1*B1D1 * cos<AB1D1

 

(a√13)^2=(a√10)^2 + (a√5)^2 - 2* a√10* a√5 * cos<AB1D1

 

13a^2=10a^2 + 5a^2 -10√2a^2 * cos<AB1D1

 

cos<AB1D1 = 13a^2-(10a^2 + 5a^2) / -10√2a^2 = -2a^2 / -10√2a^2 = √2/10

 

<AB1D1  = arccos (√2/10)

 

Ответ  угол между прямыми BD AB1  arccos (√2/10)

Answer 2

Для нахождения угла между прямыми BD и AB1 в прямоугольном параллелепипеде, нам необходимо воспользоваться знанием о свойствах параллелепипеда.

Из условия известно, что ребра AB, AD и AA1 равны a, 2a и 3a соответственно.

Так как параллелепипед прямоугольный, то противоположные грани и рёбра параллельны. Таким образом, ребро AB1 параллельно ребру CD, а ребро BD параллельно ребру AC.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Угол между прямыми BD и AB1 будет равен дополнительному углу к углу BDA. Учитывая, что угол BDA прямой, то искомый угол будет равен 90 градусов.

Таким образом, угол между прямыми BD и AB1 в данном прямоугольном параллелепипеде равен 90 градусов.