Question

В четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD перпендикулярны, а диагональ AC делит BD на две равные части. Доказать, что ВС=CD.

Answer 1

Ответ:

Смотреть фото снизу.

Answer 2

Для доказательства, что \(BC = CD\) в четырехугольнике \(ABCD\) с перпендикулярными диагоналями \(AC\) и \(BD\), и тем более, что диагональ \(AC\) делит \(BD\) на две равные части, давайте воспользуемся свойствами треугольников и прямоугольников.

Обозначим середину диагонали \(BD\) как точку \(M\), то есть \(BM = MD\). Также обозначим точку пересечения диагоналей \(AC\) и \(BD\) как \(O\).

Из условия задачи у нас есть следующее:

1. \(AC \perp BD\) (диагонали перпендикулярны). 2. \(AC\) делит \(BD\) пополам, то есть \(BM = MD\).

Теперь рассмотрим треугольники:

1. \(\triangle BMO\) и \(\triangle DMO\). У них две стороны (\(BM = MD\)) и общий угол (\(\angle BMD\)) равны, следовательно, по стороне-угол-стороне они равны.

2. Так как \(\triangle BMO\) и \(\triangle DMO\) равны, то у них равны соответствующие углы, в том числе угол \(\angle BOM\).

3. Рассмотрим прямоугольник \(BOCD\). Углы прямоугольника равны \(90^\circ\), и мы знаем, что \(\angle BOM\) тоже равен \(90^\circ\) (так как \(AC \perp BD\)).

Теперь у нас есть два угла, равные \(90^\circ\), в прямоугольнике \(BOCD\). Это означает, что \(BC\) и \(CD\) являются высотами треугольника \(BOC\) и треугольника \(COD\).

Таким образом, \(\triangle BOC\) и \(\triangle COD\) — это прямоугольные треугольники с общим основанием \(BC = CD\) и высотами \(BO\) и \(DO\) соответственно.

Следовательно, по теореме о высотах прямоугольных треугольников, мы можем утверждать, что \(BC = CD\). Таким образом, утверждение задачи доказано.