Question

Знайти область визначення функції f(x)=√-5x2-3x+8

Answer 1

Функція f(x) = √(-5x^2 - 3x + 8) має область визначення, де значення підкореневого виразу не можуть бути від'ємними. Щоб знайти цю область, ми розв'яжемо нерівняння -5x^2 - 3x + 8 ≥ 0.

Знаходження коренів квадратного рівняння

Спочатку знайдемо корені цього квадратного рівняння -5x^2 - 3x + 8 = 0. Для цього можемо скористатися формулою дискримінанту:

Дискримінант (D) = b^2 - 4ac,

де a = -5, b = -3, c = 8.

Підставляючи ці значення в формулу, отримаємо:

D = (-3)^2 - 4(-5)(8) = 9 + 160 = 169.

Так як дискримінант дорівнює 169, він є додатнім числом. Це означає, що рівняння має два різних корені.

Використаємо формулу для обчислення коренів:

x = (-b ± √D) / (2a).

Застосовуючи цю формулу, отримаємо:

x1 = (-(-3) + √169) / (2(-5)) = (3 + 13) / (-10) = 16 / -10 = -8 / 5,

x2 = (-(-3) - √169) / (2(-5)) = (3 - 13) / (-10) = -10 / -10 = 1.

Отже, корені рівняння -5x^2 - 3x + 8 = 0 дорівнюють x1 = -8/5 і x2 = 1.

Визначення області визначення функції

Тепер, ми використовуємо отримані корені, щоб визначити область визначення функції f(x) = √(-5x^2 - 3x + 8).

Знаючи, що підкореневий вираз повинен бути не менше нуля, ми можемо записати нерівність:

-5x^2 - 3x + 8 ≥ 0.

Тепер, знаючи корені рівняння -5x^2 - 3x + 8 = 0, ми можемо розділити вісь x на три інтервали за допомогою цих коренів: (-∞, -8/5), (-8/5, 1), (1, +∞).

Тестування значень у кожному інтервалі

Тепер, візьмемо по одному значенню з кожного інтервалу і підставимо його в нерівність -5x^2 - 3x + 8 ≥ 0, щоб перевірити, чи задовольняє воно нерівність.

1. Для інтервалу (-∞, -8/5): При x = -2, підставляючи його в нерівність ми отримуємо: -5(-2)^2 - 3(-2) + 8 ≥ 0, 20 + 6 + 8 ≥ 0, 34 ≥ 0. Оскільки 34 ≥ 0, то цей інтервал задовольняє нерівність.

2. Для інтервалу (-8/5, 1): При x = 0, підставляючи його в нерівність ми отримуємо: -5(0)^2 - 3(0) + 8 ≥ 0, 0 + 0 + 8 ≥ 0, 8 ≥ 0. Оскільки 8 ≥ 0, то цей інтервал задовольняє нерівність.

3. Для інтервалу (1, +∞): При x = 2, підставляючи його в нерівність ми отримуємо: -5(2)^2 - 3(2) + 8 ≥ 0, -20 - 6 + 8 ≥ 0, -18 ≥ 0. Оскільки -18 не задовольняє нерівність, то цей інтервал не задовольняє нерівність.

Таким чином, функція f(x) = √(-5x^2 - 3x + 8) має область визначення (-∞, -8/5] ∪ [-8/5, 1] і не визначена на інтервалі (1, +∞).