Question

Дано вершини трикутника A(4; −1; 3), B = (−4; 3; −3) i C(3; −2; 2) .Визначити внутрішнй кут при вершині B

Answer 1

Дано вершини трикутника A(4; −1; 3), B = (−4; 3; −3) i C(3; −2; 2).

Находим векторы:

ВА = (4-(-4); -1-3; 3-(-3)) = (8; -4; 6). модуль равен √(64+16+36) = √116,

ВC = (3-(-4); -2-3; 2-(-3)) = (7; -5; 5). модуль равен √(49+25+25) = √99.

Теперь можно найти косинус угла между этими векторами.

cos(BA_BC) = (8*7+(-4)*(-5)+6*5)/(√116*√99) = 106/√116 =

106 /107,1634266 = 0,989143436.

Угол равен  0,147487391 радиан или 8,45040502 градуса.

Есть второй вариант решения - по теореме косинусов.

Вектор АВ (с)             Вектор ВС (а)           Вектор АС (b)  

X     Y    Z                 Х     Y     Z               X     Y       Z

-8    4    -6                     7      -5     5               -1     -1       -1

Модуль 116 10,7703 Модуль 99 9,9499 Модуль 3 1,73205.

cos B = (a^2+c^2-b^2)/(2ac) = 212/ 214,3268532= 0,989143436.  

B = arccos 0,989143436 = 0,147487391 радиан = 8,45040502 градуса

Answer 2

Щоб визначити внутрішній кут при вершині B трикутника ABC, нам потрібно використати формулу для обчислення косинусу кута між двома векторами.

Перш за все, нам потрібно обчислити вектори AB та BC.

Вектор AB можна обчислити, віднімаючи координати вершини A від координат вершини B:

AB = B - A = (-4 - 4, 3 - (-1), -3 - 3) = (-8, 4, -6)

Аналогічно, вектор BC можна обчислити, віднімаючи координати вершини B від координат вершини C:

BC = C - B = (3 - (-4), -2 - 3, 2 - (-3)) = (7, -5, 5)

Тепер ми можемо обчислити косинус кута між векторами AB та BC, використовуючи формулу:

cos(θ) = (AB · BC) / (||AB|| ||BC||)

де AB · BC - скалярний добуток векторів AB та BC, ||AB|| - довжина вектора AB, ||BC|| - довжина вектора BC.

Спочатку обчислимо скалярний добуток AB · BC:

AB · BC = (-8 * 7) + (4 * -5) + (-6 * 5) = -56 - 20 - 30 = -106

Тепер обчислимо довжини векторів AB та BC:

||AB|| = √((-8)^2 + 4^2 + (-6)^2) = √(64 + 16 + 36) = √116 ≈ 10.77 ||BC|| = √(7^2 + (-5)^2 + 5^2) = √(49 + 25 + 25) = √99 ≈ 9.95

Тепер можемо обчислити косинус кута:

cos(θ) = (-106) / (10.77 * 9.95) ≈ -0.971

Для визначення внутрішнього кута при вершині B трикутника ABC нам потрібно обчислити обернений косинус (-0.971):

θ = cos^(-1)(-0.971) ≈ 163.83 градусів

Отже, внутрішній кут при вершині B трикутника ABC становить приблизно 163.83 градусів.