Question

В рівнобедрений прямокутний трикутник вписаний прямокутник так, що дві його вершини лежать на тіптенузі, в дві інші - на катетах. Знайти сторони прямокутника, якщо відомо, що вони відносяться як 1:3 гіпотенуза трикутника дорівнює 140 см.​

Answer 1

Давайте позначимо сторони прямокутного трикутника і прямокутника так:

- \( a \) і \( b \) - катети прямокутного трикутника (рівні сторони прямокутника) - \( c \) - гіпотенуза прямокутного трикутника - \( x \) і \( 3x \) - сторони прямокутника, де \( x \) - коротша сторона, \( 3x \) - довша сторона

За умовою задачі, ми знаємо, що гіпотенуза трикутника \( c \) дорівнює 140 см. Тобто, \( c = 140 \) см.

Використаємо тепер те, що прямокутник вписаний в трикутник. Це означає, що дві вершини прямокутника лежать на гіпотенузі, а інші дві - на катетах.

Трикутник буде поділений на два подібні трикутники з відношенням сторін прямокутника. Отже, ми можемо записати наступне відношення:

\[ \frac{a}{x} = \frac{b}{3x} = \frac{c}{c} \]

З цього відношення ми отримуємо:

1. \(\frac{a}{x} = \frac{c}{c} \Rightarrow a = x\) 2. \(\frac{b}{3x} = \frac{c}{c} \Rightarrow b = 3x\)

Тепер ми можемо використати відоме значення для \( c \) і знайти \( x \):

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Підставимо відомі значення:

\[ 140 = \sqrt{x^2 + (3x)^2} \]

Розв'яжемо це рівняння для \( x \):

\[ 140 = \sqrt{x^2 + 9x^2} \]

\[ 140 = \sqrt{10x^2} \]

\[ 140 = x\sqrt{10} \]

\[ x = \frac{140}{\sqrt{10}} \]

Тепер, знаючи \( x \), ми можемо знайти сторони прямокутника:

1. \( a = x \) 2. \( b = 3x \)

Підставимо значення:

1. \( a = \frac{140}{\sqrt{10}} \) 2. \( b = 3 \times \frac{140}{\sqrt{10}} \)

Отже, сторони прямокутника будуть дорівнювати:

1. \( a \approx 44.38 \) см 2. \( b \approx 133.14 \) см