Question

Висоти паралелограма, проведені з вершини тупого кута, утворюють кут 30 deg і дорівнюють 2 см і 3 см. Знайдіть пе- риметр паралелограма.

Answer 1

Давайте обозначим висоти параллелограмма через \( h_1 \) и \( h_2 \), а стороны параллелограмма через \( a \) и \( b \).

В данном случае, висоты проведены из вершины тупого угла параллелограмма. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, а сумма всех углов равна 360 градусов, то у нас есть два треугольника, каждый из которых содержит один острый угол и два прямых угла. Таким образом, угол в вершине (тупой угол) равен 180 градусов.

Также известно, что одна из висот составляет угол 30 градусов с горизонталью. Поскольку у нас есть прямой угол (180 градусов), второй угол в этом треугольнике равен 180 - 30 = 150 градусов.

Теперь у нас есть два треугольника: один с углом 30 градусов и вторым с углом 150 градусов. Известно, что высоты этих треугольников равны 2 см и 3 см.

Мы можем использовать тангенс угла для нахождения отношения высоты к основанию в каждом из треугольников. Тангенс угла в треугольнике равен отношению противолежащей стороны к прилежащей.

В первом треугольнике (угол 30 градусов):

\[ \tan(30^\circ) = \frac{h_1}{a} \]

Во втором треугольнике (угол 150 градусов):

\[ \tan(150^\circ) = \frac{h_2}{b} \]

Тангенс 30 градусов равен \( \frac{1}{\sqrt{3}} \), и тангенс 150 градусов равен \( -\frac{1}{\sqrt{3}} \) (знак минус указывает на то, что сторона противолежащая углу направлена вниз).

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h_1}{a} \]

\[ -\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h_2}{b} \]

Отсюда можно выразить высоты в зависимости от сторон:

\[ h_1 = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

\[ h_2 = -\frac{b}{\sqrt{3}} \]

Теперь можем использовать теорему Пифагора для нахождения сторон параллелограмма:

\[ a^2 = h_1^2 + b^2 \]

\[ b^2 = h_2^2 + a^2 \]

Подставляем найденные значения:

\[ a^2 = \left(\frac{a}{\sqrt{3}}\right)^2 + b^2 \]

\[ b^2 = \left(-\frac{b}{\sqrt{3}}\right)^2 + a^2 \]

Решая эти уравнения, мы найдем значения \( a \) и \( b \). Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон:

\[ P = 2a + 2b \]

Теперь у нас есть все необходимые формулы для нахождения периметра параллелограмма. Осталось только решить уравнения и подставить полученные значения.