Question

Аналітична геометрія на площині. Дано точки A,B, C, D на площині. Вимагатися: а) скласти рівняння прямих AB і CD і знайти координати точки М перетину цих прямих. б) скласти рівняння прямої MN перпендикулярна BD і прямих паралельних осях координат, що проходять через точку М. Зробити креслення. A (-1;7) B (2;-2) C (4;3) D (6;1)

Answer 1

Для розв'язання цієї задачі з аналітичної геометрії на площині, ми будемо використовувати відомі формули та властивості прямих та перпендикулярних прямих.

а) Знаходження рівнянь прямих AB і CD та точки M їх перетину:

Рівняння прямої AB:

Для знаходження рівняння прямої, скористаємося формулою:

\[y - y_1 = m(x - x_1),\]

де \(m\) - коефіцієнт наклона прямої, який обчислюється як \(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},\) а \(A(-1, 7)\) і \(B(2, -2)\) - точки на прямій.

\[m_{AB} = \frac{-2 - 7}{2 - (-1)} = \frac{-9}{3} = -3.\]

Виходить рівняння прямої AB:

\[y - 7 = -3(x + 1).\]

Рівняння прямої CD:

Аналогічно обчислюємо коефіцієнт наклона та використовуємо формулу:

\[m_{CD} = \frac{3 - 1}{4 - 6} = \frac{2}{-2} = -1.\]

Отже, рівняння прямої CD:

\[y - 3 = -1(x - 4).\]

Точка перетину M:

Для знаходження точки перетину, розв'язуємо систему рівнянь прямих AB і CD:

\[ \begin{cases} y - 7 = -3(x + 1) \\ y - 3 = -1(x - 4) \end{cases} \]

Розв'язавши систему, знаходимо координати точки M.

б) Знаходження рівняння прямої MN:

Рівняння прямої BD:

Використовуємо формулу для знаходження коефіцієнта наклона і точку B:

\[m_{BD} = \frac{-2 - 1}{2 - 6} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}.\]

Рівняння прямої BD:

\[y + 2 = \frac{3}{4}(x - 2).\]

Пряма, паралельна осям координат:

Оскільки MN перпендикулярна BD і паралельна осям координат, її коефіцієнт наклона дорівнює \(-\frac{1}{m_{BD}} = -\frac{4}{3}.\)

Отже, рівняння прямої MN:

\[y - y_M = -\frac{4}{3}(x - x_M).\]

Точка М:

Точка М - перетин прямих AB і CD. Ми вже знайшли її координати в частині а).

Тепер вам залишається підставити значення координат точок A, B, C, D та М у відповідні рівняння та зробити креслення за допомогою цих даних.