Question

Спростіть вираз: (1+tg²a)(1-cos²a);​

Answer 1

Відповідь:

(1+tg²a)(1-cos²a) = (1+(sin²a/cos²a))(1-cos²a) = (cos²a+sin²a/cos²a)(1-cos²a) = (1/cos²a)(1-cos²a) = cos²a/cos²a = cos²a

Пояснення:

Answer 2

Давайте розглянемо вираз і спростимо його:

\[ (1 + \tan^2 a)(1 - \cos^2 a) \]

Спершу використаємо тригонометричні тотожності:

\[ \tan^2 a = \sec^2 a - 1 \]

\[ \cos^2 a + \sin^2 a = 1 \]

Замінимо ці вирази у вихідний:

\[ (1 + (\sec^2 a - 1))(1 - \cos^2 a) \]

Тепер розгорнемо дужки:

\[ (\sec^2 a)(1 - \cos^2 a) - 1 + 1 - \cos^2 a \]

Об'єднаємо деякі члени:

\[ \sec^2 a - \sec^2 a \cos^2 a - \cos^2 a + 1 \]

Тепер взягемо зауваження, що \(\sec^2 a - 1 = \tan^2 a\), тому можемо замінити це виразом:

\[ \tan^2 a - \tan^2 a \cos^2 a - \cos^2 a + 1 \]

Тепер можемо об'єднати члени з \(\tan^2 a\):

\[ \tan^2 a (1 - \cos^2 a) - \cos^2 a + 1 \]

Використаємо тотожність \(\sin^2 a = 1 - \cos^2 a\):

\[ \tan^2 a \sin^2 a - \cos^2 a + 1 \]

Це можна ще спростити:

\[ \sin^2 a(\tan^2 a - 1) + 1 \]

Та враховуючи, що \(\tan^2 a - 1 = -\sec^2 a\):

\[ -\sin^2 a \sec^2 a + 1 \]

Отже, після подробного спрощення вихідного виразу, отримуємо:

\[ -\sin^2 a \sec^2 a + 1 \]