Question

Дан треугольник ABC с углом A, равным 60◦ . Его вписанная окружность касается стороны AB в точке D, а вневписанная окружность, касающаяся стороны AC, касается продолжения стороны AB в точке E. Докажите, что перпендикуляр к стороне AC, проходящий через точку D, вторично пересекает вписанную окружность в точке, равноудаленной от точек E и C. (Вневписанной называется окружность, касающаяся одной из сторон треугольника и продолжений двух других его сторон.)​

Answer 1

Дададаьаьаларвоадзпхплатаис

Answer 2

Задача

Дан треугольник ABC с углом A, равным 60°. Его вписанная окружность касается стороны AB в точке D, а вневписанная окружность, касающаяся стороны AC, касается продолжения стороны AB в точке E. Нужно доказать, что перпендикуляр к стороне AC, проходящий через точку D, вторично пересекает вписанную окружность в точке, равноудаленной от точек E и C.

Решение

Чтобы доказать утверждение, рассмотрим следующие факты: 1. Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке D. Это означает, что отрезок AD является биссектрисой угла A. 2. Вневписанная окружность, касающаяся стороны AC, касается продолжения стороны AB в точке E. Это означает, что отрезок AE является биссектрисой угла A. 3. Перпендикуляр к стороне AC, проходящий через точку D, будет пересекать вписанную окружность треугольника ABC в точке, равноудаленной от точек E и C.

Докажем эти факты по порядку:

Факт 1: Отрезок AD является биссектрисой угла A.

Для доказательства этого факта воспользуемся свойством вписанной окружности треугольника. По свойству касательной, угол между касательной и радиусом, проведенным к точке касания, равен 90°.

Так как окружность касается стороны AB в точке D, то угол ADC является прямым углом (90°). Угол ACD является углом между касательной к вписанной окружности и радиусом, проведенным к точке касания. По свойству касательной, угол ADC равен углу ACD. Таким образом, отрезок AD является биссектрисой угла A.

Факт 2: Отрезок AE является биссектрисой угла A.

Аналогично предыдущему факту, угол AEC является прямым углом (90°). Угол ACE является углом между касательной к вневписанной окружности и радиусом, проведенным к точке касания. По свойству касательной, угол AEC равен углу ACE. Таким образом, отрезок AE является биссектрисой угла A.

Факт 3: Перпендикуляр к стороне AC, проходящий через точку D, вторично пересекает вписанную окружность в точке, равноудаленной от точек E и C.

Для доказательства этого факта, рассмотрим следующее:

Пусть F - точка пересечения перпендикуляра к стороне AC, проходящего через точку D, и вписанной окружности треугольника ABC.

Так как AD является биссектрисой угла A, то угол FDA равен углу FAD. Аналогично, так как AE является биссектрисой угла A, то угол FEA равен углу EAF.

Так как углы FAD и EAF равны, а угол A равен 60°, то угол FDA также равен 60°. Таким образом, треугольник FDA является равносторонним.

Так как треугольник FDA является равносторонним, то точка F равноудалена от точек D и A. Также, так как точка F лежит на вписанной окружности треугольника ABC, то она также равноудалена от точек E и C.

Таким образом, перпендикуляр к стороне AC, проходящий через точку D, вторично пересекает вписанную окружность в точке, равноудаленной от точек E и C.

Доказательство завершено.

Таким образом, мы доказали, что перпендикуляр к стороне AC, проходящий через точку D, вторично пересекает вписанную окружность в точке, равноудаленной от точек E и C.